Logarithmus zusammenfassen

28.09.2015, 13:23	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmus zusammenfassen Meine Frage: Ich hänge wieder einmal bei einer Logarithmusübung. Kann mir bitte jemand ein wenig Weiterhelfen. Danke schon mal im Voraus. Folgender Ausdruck soll zu einem Logarithmus zusammengefasst werden. $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\cdot ln(x^{3}+y^{3})+\frac{1}{3}\cdot ln(x^{3}-y^{3})-\frac{1}{3}\cdot ln(x^{2}-y^{2}) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zuerst habe ich den Logarithmus zusammengefasst $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\cdot ln(\frac{(x^{3}+y^{3})(x^{3}-y^{3}) }{(x^{2}-y^{2} )}) \end{eqnarray}$ Und jetzt weiß ich nicht mehr so recht weiter. Ich kann das obere ausmultiplizieren, aber ist das hier notwendig für den nächsten Schritt. Als Lösung kommt das heraus $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\cdot ln(x^{2}+x\cdot y+y^{2})\cdot (x^{2}-xy+y^{2}) \end{eqnarray}$
28.09.2015, 13:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ganze Logarthmuszeug eliminiert folgt die Lösung aus den beiden Identitäten $\begin{align} x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) \end{align}$ und $\begin{align} x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) \end{align}$ (genau genommen folgt die zweite aus der ersten, wenn man da -y für y einsetzt).
28.09.2015, 13:36	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke, das leuchtet mir jetzt ein. Gibt es da eine Regel, was wäre jetzt z.B. bei hoch 4 oder hoch 5.
28.09.2015, 13:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, die linke Gleichung ist der Spezialfall $\begin{align} n=3 \end{align}$ von $\begin{align} x^n-y^n = (x-y) \sum_{k=0}^{n-1} x^ky^{n-1-k} \end{align}$ . Und das daraus eine Gleichung für $\begin{align} x^n+y^n \end{align}$ durch Einsetzen von $\begin{align} -y \end{align}$ statt $\begin{align} y \end{align}$ wird, klappt natürlich nur für ungerade $\begin{align} n \end{align}$ .
28.09.2015, 13:48	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke hat mir sehr geholfen, das mit den ungeraden werde ich mir auf jeden Fall merken.

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