Integralsatz von Gauß im R^2

28.09.2015, 14:42

Blockflötchen

Integralsatz von Gauß im R^2

Meine Frage:
Hallo!
Ich habe ein Vektorfeld gegeben mit
$\begin{eqnarray*} g(x,y)=(2xy, y) \end{eqnarray*}$

und dazu habe ich eine dreigeteilte stückweise glatte Parametrisierung eines Flächenrands:
$\begin{eqnarray*} C_{1}(t), C_{2}(t), C_{3}(t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t\in [0,1] \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich den Satz von Gauß verifizieren. Nur wie setze ich das ins Integral, das über den Rand geht, ein?

Meine Ideen:
Die Einheitsnormalenvektoren sind also:
$\begin{eqnarray*} n_{1}(t), n_{2}(t), n_{3}(t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t\in [0,1] \end{eqnarray*}$

Etwa so? (Variante 1)
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! n_{1}(t)~g(n_{1}(t))\, dt + \int_{0}^{1} \! n_{2}(t)~g(n_{2}(t))\, dt + \int_{0}^{1} \! n_{3}(t)~g(n_{3}(t))\, dt \end{eqnarray*}$

Oder so? (Variante 2)
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! n_{1}(t)~g(C_{1}(t))\, dt + \int_{0}^{1} \! n_{2}(t)~g(C_{2}(t))\, dt + \int_{0}^{1} \! n_{3}(t)~g(C_{3}(t))\, dt \end{eqnarray*}$

In beiden Fällen komme ich nicht auf das Ergebnis, das ich mit dem Integral über die Divergenz herausbekomme.
Übers Internet werde ich auch nicht schlau, da ich die unterschiedlichen Schreibweisen nicht schnalle...

28.09.2015, 17:12

klauss

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RE: Integralsatz von Gauß im R^2
Um welche Fläche handelt es sich denn genau?
Wie lauten $\begin{eqnarray*} C_{1}(t), C_{2}(t), C_{3}(t) \end{eqnarray*}$ ?

Damit man's mal nachrechnen kann.

28.09.2015, 19:47

Blockflötchen

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Das Gebiet sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} D=\left\{ (x,y)\in \mathbb R^{2}: | x | \leq 1, 0\leq y\leq 1-| x | \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_{1}(t)=\begin{pmatrix} 2t-1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C_{2}(t)=\begin{pmatrix} 1-t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C_{3}(t)=\begin{pmatrix} -t \\ 1-t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beim Integrieren per Kurvenintegral bekomme ich $\begin{eqnarray*} 0+\frac{5\sqrt{2}}{12}+\frac{5\sqrt{2}}{12} \end{eqnarray*}$ für die Teilintegrale heraus.

Mit dem Integral über die Divergenz komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{0} \int_{0}^{1+x} \! (2y+1) \, dx \, dy + \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \! (2y+1) \, dx \, dy = \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

28.09.2015, 22:46

lh2

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Hallo

So müsste es gehen

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! n_{1}(t)~g(C_{1}(t))\, ds + \int_{0}^{1} \! n_{2}(t)~g(C_{2}(t))\, ds + \int_{0}^{1} \! n_{3}(t)~g(C_{3}(t))\, ds \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ds=\sqrt{(\frac{dx}{dt} )^{2}+(\frac{dy}{dt}) ^{2} } dt \end{eqnarray*}$

Aufpassen,dass die Normalenvektoren nach außen zeigen

Gruß

29.09.2015, 13:17

klauss

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Hab das jetzt mal durchgerechnet und es kommt bei mir jeweils 5/3 raus.
Bei

Zitat:

Original von Blockflötchen
Mit dem Integral über die Divergenz komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{0} \int_{0}^{1+x} \! (2y+1) \, dx \, dy + \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \! (2y+1) \, dx \, dy = \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

mußt Du dx und dy vertauschen, aber das Ergebnis stimmt.
Etwas kürzer wäre vielleicht gewesen $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{y-1}^{1-y}\! (2y+1) \, dx dy \end{eqnarray*}$ .

Deine Rechnung längs des Weges müßtest Du dann ggf. posten, um den Fehler zu finden. Vielleicht hast Du falsche Normalenvektoren gewählt.

29.09.2015, 17:06

Blockflötchen

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Zitat:

Original von lh2

Aufpassen,dass die Normalenvektoren nach außen zeigen

Gruß

Meine Normalenvektoren bezüglich $\begin{eqnarray*} C(t) \end{eqnarray*}$ sehen so aus:

$\begin{eqnarray*} C(t) = \begin{pmatrix} C_{1}(t) \\ C_{2}(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n(t) = \frac{1}{|C'(t)|} \begin{pmatrix} C_{2}'(t) \\ -C_{1}'(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du eigentlich auf dein $\begin{eqnarray*} ds \end{eqnarray*}$ ?

29.09.2015, 17:19

klauss

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Warum setzt Du da Vektoren als Komponenten eines neuen Vektors ein? Und wie soll das in Zahlen aussehen?
Der Weg besteht hier aus 3 Abschnitten $\begin{eqnarray*} C_{1}(t), C_{2}(t), C_{3}(t) \end{eqnarray*}$ .
Dann brauchen wir $\begin{eqnarray*} C'_{1}(t), C'_{2}(t), C'_{3}(t) \end{eqnarray*}$ und die hierzu nach außen zeigenden $\begin{eqnarray*} n_{1}(t), n_{2}(t), n_{3}(t) \end{eqnarray*}$ , die im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2<br /> \end{eqnarray*}$ ja leicht zu finden sind.
Das $\begin{eqnarray*} ds \end{eqnarray*}$ fällt dann übrigens weg, weil sich die Wurzel rauskürzt. Es bleibt bei $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ .

29.09.2015, 21:40

lh2

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Zitat:

Original von Blockflötchen

Wie kommst du eigentlich auf dein $\begin{eqnarray*} ds \end{eqnarray*}$ ?

1.Pythagoras
$\begin{eqnarray*} ds=\sqrt{dx^{2}+ dy^{2} } \end{eqnarray*}$

2.Erweitern
$\begin{eqnarray*} ds=\sqrt{dx^{2}+ dy^{2} }\frac{dt}{dt} \end{eqnarray*}$

schließlich
$\begin{eqnarray*} ds=\sqrt{(\frac{dx}{dt} )^{2}+(\frac{dy}{dt}) ^{2} } dt = |C'(t)|dt \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klauss
Das $\begin{eqnarray*} ds \end{eqnarray*}$ fällt dann übrigens weg, weil sich die Wurzel rauskürzt. Es bleibt bei $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ .

Na dann machen wir das doch

$\begin{eqnarray*} \oint \vec{g}(t) \frac{1}{|C'(t)|} \begin{pmatrix} C_{2}'(t) \\ -C_{1}'(t) \end{pmatrix} |C'(t)|dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \oint \vec{g}(t) \begin{pmatrix} C_{2}'(t) \\ -C_{1}'(t) \end{pmatrix} dt \end{eqnarray*}$

Hier im Vergleich noch Stokes

$\begin{eqnarray*} \oint \vec{g}(t) \begin{pmatrix} C_{1}'(t) \\ C_{2}'(t) \end{pmatrix} dt \end{eqnarray*}$

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