Surjektive Lineare Abbildung Verfahren

28.09.2015, 15:30

Municher

Surjektive Lineare Abbildung Verfahren

Meine Frage:
Ich stecke gerade mitten in der Klausurvorbereitung und stehe vor einem Problem:
Mir fehlt das Verfahren um eine surjektive lineare Abbildung zu bestimmen.

Folgende Aufgabe:
Geben Sie, falls möglich eine surjektive lineare Abbildung an,

$\begin{eqnarray*} \psi : \mathbb{R}^{3} \rightarrow Span \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 3 &13 &6 &-2 \\ 1 &4&3&-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ an. Begründen Sie entweder, warum die von Ihnen angegebene Abbildung die geforderten Eigenschaften hat, oder warum es keine solche Abbildung geben kann.

Meine Ideen:
Es ist meiner Meinung zu prüfen, ob eine lineare Abbildung vorliegt und zusätzlich eine surjektive Abbildung vorliegt.
Bin mir über das vorgehen aber sehr unsicher

28.09.2015, 15:37

bijektion

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Welche Dimesion hat denn $\begin{eqnarray*} \mathrm{span}\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 3 &13 &6 &-2 \\ 1 &4&3&-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

28.09.2015, 15:43

Municher

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Die Dimension ist 3.

Gruß und nun? Wink

28.09.2015, 15:46

bijektion

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Dann kannst du eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathrm{span}\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 3 &13 &6 &-2 \\ 1 &4&3&-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ angeben und eine lineare Abbildung ist durch angabe der Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt.

28.09.2015, 15:54

Municher

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Dann erhalten wir folgende Basis: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\2 \\ 13 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\1 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das nicht dann auch gleichzeitig unser Bild ? In welchem Zusammenhang steht das dann mit der Surjektivität? Hammer

28.09.2015, 15:59

bijektion

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Ja, $\begin{eqnarray*} \mathrm{span}\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 3 &13 &6 &-2 \\ 1 &4&3&-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wird von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\2 \\ 13 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\1 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufgespannt.

Wähle jetzt eine Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=\left\{ b_1,b_2,b_3\right\} \end{eqnarray*}$ und setze $\begin{eqnarray*} \psi(b_1)=\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \psi(b_2)=\begin{pmatrix} 4 \\2 \\ 13 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi(b_3)=\begin{pmatrix} 2 \\1 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

28.09.2015, 16:17

Municher

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Tut mir leid, aber irgendwie ist mir der Schritt nicht ganz klar.

Gruß und Danke

29.09.2015, 10:37

bijektion

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Da $\begin{eqnarray*} \mathcal{C}=\left\{ c_1=\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}, c_2=\begin{pmatrix} 4 \\2 \\ 13 \\ 4 \end{pmatrix},c_3=\begin{pmatrix} 2 \\1 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V:=\mathrm{span}\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 3 &13 &6 &-2 \\ 1 &4&3&-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist, lässt sich jedes $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ darstellen als $\begin{eqnarray*} v=\sum_{j=1}^3 \lambda_j\cdot c_j \end{eqnarray*}$ .

Jetzt wähle eine Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=\left\{ b_1,b_2,b_3\right\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , etwa die Standardbasis (d.h. $\begin{eqnarray*} b_j=e_j \end{eqnarray*}$ ).

Dann setzt du, wie oben bereits gesagt, $\begin{eqnarray*} \psi(b_1)=\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}=c_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \psi(b_2)=\begin{pmatrix} 4 \\2 \\ 13 \\ 4 \end{pmatrix}=c_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi(b_3)=\begin{pmatrix} 2 \\1 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}=c_3 \end{eqnarray*}$ .
Damit ist die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \psi:\mathbb{R}^3\to V \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt und surjektiv, denn zu $\begin{eqnarray*} V \ni v=\sum_{j=1}^3 \lambda_j\cdot c_j \end{eqnarray*}$ wählst du einfach $\begin{eqnarray*} w=\sum_{j=1}^3 \lambda_j \cdot b_j\in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} \psi(w)=v \end{eqnarray*}$ .

29.09.2015, 15:28

Municher

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Mir ist jetzt deutlich warum die Abbildung surjektiv bzw. linear ist, aber ich verstehe folgende Aussage immernoch nicht:

Zitat:

Original von bijektion

Jetzt wähle eine Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=\left\{ b_1,b_2,b_3\right\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , etwa die Standardbasis (d.h. $\begin{eqnarray*} b_j=e_j \end{eqnarray*}$ ).

Thx

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