Normalverteilung

28.09.2015, 18:54

steviehawk

Normalverteilung

Meine Frage:
Hallo Leute,

wenn eine Zufallsvariable zum Beispiel wie folgt verteilt ist: $\begin{eqnarray*} X \sim N(1,2) \end{eqnarray*}$ , dann ist ja 2X verteilt mit $\begin{eqnarray*} 2X \sim N(2,8) \end{eqnarray*}$

Nun meine Frage: Ist das jetzt eine Besonderheit der Normalverteilung, dass solche Vielfache wieder normalverteilt sind? Beziehungsweise ist es ja nicht nur bei Vielfachen so, sondern sogar bei Linearkombinationen der Art $\begin{eqnarray*} aX + b \end{eqnarray*}$ wieder der Fall.

Meine Ideen:
Wenn ich jetzt eine Bernoulli Zufallsvariable habe. Also $\begin{eqnarray*} X \sim Bin_{1,p} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb P(X=1) = p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb P(X=0) = 1-p \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die Zufallsvariable 2X betrachte, was passiert dann? Macht das überhaupt Sinn?

Danke für die Hilfe

EDIT:

Ich kann ja $\begin{eqnarray*} 2X \end{eqnarray*}$ nicht als Faltung betrachten, da ja $\begin{eqnarray*} 2X = X+X \end{eqnarray*}$ aber das ist ja nicht zu sich selbst unabhängig..

28.09.2015, 20:13

1nstinct

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RE: Normalverteilung
Dass die Summe von normalverteilten ZVen wieder normalverteilt ist, das ist schon eine "Besonderheit", bzw gilt eben nicht allgemein.

Auch die Summe von Binomialverteilungen ist binomialverteilt.

Gruß

28.09.2015, 20:31

sixty-four

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RE: Normalverteilung
Ich glaube aber du hast dich in der Symbolik "verhauen". Wenn du eine normalverteilte ZG X hast, die $\begin{eqnarray*} N(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ -verteilt ist, dann ist $\begin{eqnarray*} 2X \quad N(2\mu,2\sigma^2) \end{eqnarray*}$ -verteilt.
Wenn also $\begin{eqnarray*} X \quad N(1,2) \end{eqnarray*}$ -verteilt ist, dann ist $\begin{eqnarray*} 2X \quad N(2,4) \end{eqnarray*}$ -verteilt.

28.09.2015, 20:46

steviehawk

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RE: Normalverteilung
@ sixty-four

Also ich dachte ich mache das so: $\begin{eqnarray*} X \sim N(\mu, \sigma^2) \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} 2X \end{eqnarray*}$ auch wieder normalverteilt ist. Dann bestimme ich den Ewartungswert und die Varianz von $\begin{eqnarray*} 2X \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(2X) = 2 \mathbb E(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} var(2X) = 2^2 var(X) = 4 var(X) \end{eqnarray*}$ nach den Regeln für Erwartungswert und Varianz.

Für $\begin{eqnarray*} X \sim N(1,2) \end{eqnarray*}$ erhalte ich dann: $\begin{eqnarray*} 2X \sim N(2,8) \end{eqnarray*}$

@ 1nstinct

"Auch die Summe von Binomialverteilungen ist binomialverteilt"

da brauchst du aber auch die Unabhängigkeit um das sagen zu können.

28.09.2015, 20:54

sixty-four

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RE: Normalverteilung

Zitat:

Original von steviehawk
@ sixty-four

Also ich dachte ich mache das so: $\begin{eqnarray*} X \sim N(\mu, \sigma^2) \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} 2X \end{eqnarray*}$ auch wieder normalverteilt ist. Dann bestimme ich den Ewartungswert und die Varianz von $\begin{eqnarray*} 2X \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(2X) = 2 \mathbb E(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} var(2X) = 2^2 var(X) = 4 var(X) \end{eqnarray*}$ nach den Regeln für Erwartungswert und Varianz.

Für $\begin{eqnarray*} X \sim N(1,2) \end{eqnarray*}$ erhalte ich dann: $\begin{eqnarray*} 2X \sim N(2,8) \end{eqnarray*}$

Ja, du hast recht. Ich habe mich "verhauen". Was ich geschrieben habe gilt für die Summe zweier unabhängiger ZG. Das ist hier aber mitnichten der Fall.

28.09.2015, 21:03

HAL 9000

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Speziell bei diskreten Standardverteilungen auf $\begin{align*} \mathbb{N} \end{align*}$ ist es i.d.R. nie der Fall, dass $\begin{align*} aX+b \end{align*}$ auch wieder eine solche Standardverteilung ist. Da gibt es aber dann vielleicht andere Symmetrien, z.B. für $\begin{align*} X\sim B(n,p) \end{align*}$ ist $\begin{align*} (n-X)\sim B(n,1-p) \end{align*}$ ...

Bei stetigen Verteilungen scheint es da schon häufiger vorzukommen: Für $\begin{align*} X\sim \operatorname{Exp}(\lambda) \end{align*}$ ist $\begin{align*} aX\sim \operatorname{Exp}\left(\frac{\lambda}{a}\right) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} a>0 \end{align*}$ .

Und bei stetig gleichverteilten $\begin{align*} X \end{align*}$ ist $\begin{align*} aX+b \end{align*}$ auch wieder stetig gleichverteilt, zumindest wenn $\begin{align*} a\neq 0 \end{align*}$ .

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