Stoch. Prozesse, erzeugte Sigma-Algebren, Stopzeiten

28.09.2015, 20:08

gessi

Stoch. Prozesse, erzeugte Sigma-Algebren, Stopzeiten

Ich steh irgendwie bei den Basics auf dem Schlauch... Hilfe

Ein stochastischer Prozess ist eine Folge von Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} \left(X_n\right)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ , z.B. ganz banal eine Folge von Münzwürfen, wo 1 und -1 für Kopf und Zahl stehen und ich ganz simpel nur 1 und -1 ausgebe - also bspw. $\begin{eqnarray*} X_1(\omega) = -1, X_2(\omega)=1, X_3(\omega)=1 \end{eqnarray*}$ etc.
Und die Folge bezieht sich mit ihrem Index auf die Zeit, wobei zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von ihrer Definition und $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ein konkreter Wert rauskommt.
Zeichnen kann man nicht eine "generelle" Folge von ZV, sondern nur eine mögliche Realisierung. Die Achsen sind mit n bzw. t (horizontal) und X (vertikal) belegt.
Soweit richtig?

Jetzt zu (erzeugten) Filtrationen bzw. erzeugten $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebren: $\begin{eqnarray*} \left(X_n\right)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ wie oben und $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_n := \sigma(X_1,...,X_n) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} (\mathcal{F}_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ die durch $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ erzeugte Filtration.
Auch das unten stehende Bild hatten wir.
[attach]39169[/attach]
Ich wollte jetzt zur Veranschaulichung mal für die ersten paar Würfe die $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_n \end{eqnarray*}$ aufschreiben. Irgendwie sind die mir nicht ganz klar - ist es $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}([0,n]) \end{eqnarray*}$ ? Die Urbilder von 1 bzw. -1 wären ja immer nur ein paar Intervalle, aber da die Komplemente auch enthalten sein müssen, komme ich am Ende doch aufs ganze Intervall.
Wir haben das ganze ja "durchgehend" gezeichnet - wenn ich jetzt nur die Punkte einzeichnen würde, hätte ich ja als Urbilder Mengen, würde aber wegen der Komplemente auch wieder auf alle natürlichen Zahlen im Intervall kommen.
Oder habe ich hier einen Denkfehler?

Und als drittes: Stopzeiten
Unsere Definition: Eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} T:\Omega \to \overline{\mathbb{N}}_0 = \mathbb{N}_0 \cup \lbrace +\infty \rbrace \end{eqnarray*}$ heißt eine Stopzeit, falls $\begin{eqnarray*} \lbrace T \leq n \rbrace \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \mathcal{F}_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ .
Ich kann mir zwar grundsätzlich etwas drunter vorstellen, aber es hakt mit der Vorstellung als ZV. Kann ich sie irgendwie zeichnen?

Ich versuche mich mal an einem Beispiel: Ich nehme die o.g. Folge und als Stoppzeit nehme ich das $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , bei dem ich 3x Kopf hatte.
Da T sich aber abhängig von der Realisierung ändert, ist es nicht einfach eine Konstante, sondern eine ZV. D.h. sobald ich mir eine bestimmte Realisierung anschaue (z.B. die oben gezeichnete), kann ich genau einen Wert T angeben. Kann man das so sagen?

28.09.2015, 20:22

HAL 9000

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In der Definition ist $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ und auch die $\begin{align*} \mathcal{F}_n \end{align*}$ ja abstrakt, man kann also nicht sagen, wie sie direkt aussehen.

Was anderes wäre das, wenn man den ganzen W-Raum kanonisch konstruiert - bei der Münzwurfsache wäre das z.B. $\begin{align*} \Omega:= \{-1,1\}^{\mathbb{N}} \end{align*}$ , und für $\begin{align*} \omega=(\omega_1,\omega_2,\ldots)\in \Omega \end{align*}$ definiert man

$\begin{align*} X_n(\omega) := \omega_n \end{align*}$

In dem Fall wäre dann natürlich einfach, wie $\begin{align*} \mathcal{F}_n \end{align*}$ aussieht. Augenzwinkern

Zitat:

Original von gessi
Ich kann mir zwar grundsätzlich etwas drunter vorstellen, aber es hakt mit der Vorstellung als ZV. Kann ich sie irgendwie zeichnen?

Das heißt eigentlich nur, dass die Wahl des Stoppzeitpunkt $\begin{align*} T \end{align*}$ nur aufgrund der Beobachtungen $\begin{align*} X_1,X_2,\ldots,X_n \end{align*}$ bis zu diesem Zeitpunkt getroffen wird - d.h. salopp, man kann nicht "in die Zukunft sehen", also eine durchaus natürliche Forderung für viele derartige Probleme. Augenzwinkern

28.09.2015, 20:43

gessi

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Danke!

Zitat:

Original von HAL 9000
In der Definition ist $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ und auch die $\begin{align*} \mathcal{F}_n \end{align*}$ ja abstrakt, man kann also nicht sagen, wie sie direkt aussehen.

Was anderes wäre das, wenn man den ganzen W-Raum kanonisch konstruiert - bei der Münzwurfsache wäre das z.B. $\begin{align*} \Omega:= \{-1,1\}^{\mathbb{N}} \end{align*}$ , und für $\begin{align*} \omega=(\omega_1,\omega_2,\ldots)\in \Omega \end{align*}$ definiert man

$\begin{align*} X_n(\omega) := \omega_n \end{align*}$

In dem Fall wäre dann natürlich einfach, wie $\begin{align*} \mathcal{F}_n \end{align*}$ aussieht. Augenzwinkern

Nehmen wir mal an, dass das so definiert wäre. Muss ich dann irgendwie mit Tupeln arbeiten? Ansonsten käme ja immer die selbe Sigma-Algebra raus verwirrt

Zitat:

Original von gessi
Ich kann mir zwar grundsätzlich etwas drunter vorstellen, aber es hakt mit der Vorstellung als ZV. Kann ich sie irgendwie zeichnen?

Diese "saloppe" Formulierung kenne ich und das war das, was ich mit "ich kann mir grundsätzlich was drunter vorstellen" meinte. Nur leider hilft das bei formaler Mathematik dann nur noch bedingt weiter...

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