Kreistangentenschnittpunkt am Tangentialen Kreis

29.09.2015, 11:20

Giesgen

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Kreistangentenschnittpunkt am Tangentialen Kreis

Meine Frage:
Ich suche nun schon seit geraumer Zeit eine Lösung für mein Problem habe aber leider noch keine Lösung. Ich suche eine Funktion für die Länge X in Abhängigkeit zu R1, R2, und Alpha. X=f(R1, R2, Alpha).
Wenn Ihr eine Lösung finden würdet, würdet ihr mir echt weiter helfen.

Meine Ideen:
Mein erster Ansatz war, dass ich die Model in immer mehr Dreiecke zerlegt habe und über viel Umwege meine Länge X berechnen wollte, fand da aber leider keine Lösung.

29.09.2015, 11:22

bijektion

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Sind $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ die Radien der Kreise?

29.09.2015, 11:24

Giesgen

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Zitat:

Original von bijektion
Sind $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ die Radien der Kreise?

Ja genau R1 und R2 sind die Radien.

29.09.2015, 11:31

bijektion

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Du kannst den Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ und der Tangente bestimmen. Dann hast du zwei Seiten des Dreiecks und einen Winkel.

29.09.2015, 11:34

Giesgen

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Zitat:

Original von bijektion
Du kannst den Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ und der Tangente bestimmen. Dann hast du zwei Seiten des Dreiecks und einen Winkel.

Das stimmt, das habe ich auch gemacht, das problem ist, dass die beiden Winkel zwischen dem Radius und X und zwischen der Tangente und X unbekannt sind. Da ist leider kein Rechterwinkel dabei.

29.09.2015, 11:38

bijektion

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Schau dir den Kosinussatz an, damit lässt sich das Problem lösen smile

smile

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29.09.2015, 11:44

Giesgen

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Zitat:

Original von bijektion
Schau dir den Kosinussatz an, damit lässt sich das Problem lösen smile

smile

Ich glaube nicht, da ich nur eine Seite und den Winkel kenne. Ich kann zwar die Länge vom Schnittpunkt der Tangente mit dem R2 bis X unten bestimmen. Dann fehlt mir aber noch die Länge vom Schnittpunkt der Tangente mit R2 oben. Die Abstände sind ja auch nicht gleich.

29.09.2015, 11:46

bijektion

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Du hast Recht, ich hab da gerade was übersehen Hammer

Hammer

29.09.2015, 11:47

Giesgen

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Kein Ding

Freude

29.09.2015, 11:59

bijektion

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Ich führe mal ein paar Bezeichnungen ein, damit es etwas klarer wird.

Sei $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ der Mittelpunkt des Kreises mit Radius $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ und den Kreis nennen wir $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ . Analog bezeichnen wir den rechten Kreis mit $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ und seinen Mittelpunkt mit $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ der Punkt auf $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ , an den die Tangente $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ gelegt wird. Die gestrichelte Linie nennen wir $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ und der Schnittpunkt von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ genannt.

Jetzt können wir $\begin{eqnarray*} \overline{M_1P} \end{eqnarray*}$ parallel verschieben, sodass die neue Gerade $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ geht. Der so entstehende Winkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ kann bestimmt werden, da $\begin{eqnarray*} G \perp T \end{eqnarray*}$ . Wie groß ist der Winkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ?

Jetzt kannst du jeweils die bekannten Größen nutzen um mit dem Stufen-, Neben- und Wechselwinkel neue Informationen zu erhalten, ähnlich wie für den Winkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ .

29.09.2015, 12:21

Giesgen

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meinst du so? Ich weiß aber nicht wie man jetzt Beta bestimmen kann Big Laugh

Big Laugh

29.09.2015, 13:26

HAL 9000

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Basierend auf der neuen Skizze, wenn wir zusätzlich noch den Schnittpunkt der Tangente mit der Geraden $\begin{align*} M_1M_2 \end{align*}$ als $\begin{align*} S \end{align*}$ bezeichen:

Vom Dreieck $\begin{align*} M_2QS \end{align*}$ sind die beiden Strecken $\begin{align*} |M_2Q|=R_2 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} |M_2S| = |M_1M_2|-|M_1S| = R_1+R_2-\frac{R_1}{\cos\alpha} \end{align*}$ und außerdem noch der Winkel $\begin{align*} |\angle QSM_2| = 90^{\circ}+\alpha \end{align*}$ bekannt. Damit kann über Sinussatz der Winkel $\begin{align*} |\angle M_2QS| \end{align*}$ und daraus dann (über die Dreieck-Winkelsumme) $\begin{align*} \varphi = |\angle SM_2Q| \end{align*}$ bestimmt werden, mit dem wiederum $\begin{align*} x = 2R_2\sin\frac{\varphi}{2} \end{align*}$ ausgerechnet werden kann.

29.09.2015, 13:38

Giesgen

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welchen Winkel meinst du mit Phi?

29.09.2015, 13:39

HAL 9000

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LESEN, steht doch in meinem Beitrag!

$\begin{align*} \varphi = |{\color{red}\angle SM_2Q}| \end{align*}$

29.09.2015, 13:54

Giesgen

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Ja ist mir auch aufgefallen Hammer

Hammer

Vielen Vielen Dank. Du bist ein GOTT Gott

Gott

29.09.2015, 13:57

HAL 9000

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Das bloße Berechnen eines SsW-Dreiecks macht einen noch nicht zur Gottheit. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.09.2015, 14:09

Giesgen

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Ich weiß aber ich stand so auf dem Schlauch, dass ich die Lösungsmöglichkeit gar nicht mehr gesehen habe Lehrer

Lehrer

29.09.2015, 14:45

HAL 9000

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Zu beachten ist, dass bei wachsendem $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ (aber immer noch kleiner als 90°) irgendwann mal der Punkt $\begin{align*} S \end{align*}$ rechts von $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ liegt. Wenn ich das richtig überblicke, klappt die mit obigem Verfahren entwickelte Formel

$\begin{align*} x = 2R_2\sin\left(\frac{1}{2}\left[90^{\circ}-\alpha-\arcsin\frac{(R_1+R_2)\cos\alpha-R_1}{R_2} \right]\right) \end{align*}$

aber auch für diesen Fall. Wie es aussieht, sogar auch noch für $\begin{align*} \alpha > 90^{\circ} \end{align*}$ (dann liegt $\begin{align*} S \end{align*}$ links von $\begin{align*} M_1 \end{align*}$ !!!), aber nur solange die Tangente überhaupt noch den Kreis $\begin{align*} K_2 \end{align*}$ schneidet (was gleichbedeutend mit $\begin{align*} \frac{(R_1+R_2)\cos\alpha-R_1}{R_2} \geq -1 \end{align*}$ ist).

P.S.: Bei all dem gehe ich von $\begin{align*} R_1\leq R_2 \end{align*}$ aus.

29.09.2015, 15:35

Giesgen

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Da hast du recht Big Laugh

Big Laugh

. Das muss ich dann als bedingung setzen Big Laugh

Big Laugh

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