Normabschätzung in Hilberträumen

29.09.2015, 11:35	pixelchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Normabschätzung in Hilberträumen Hallo zusammen ich möchte gerne folgende Ungleichung zeigen: $\begin{eqnarray} <br /> a(\phi,\psi) = \int_{\Omega}\nabla\phi\cdot\nabla\psi \leq \|\|\phi\|\|_W\|\|\psi\|\|_H \quad \forall \phi \in W = H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega), \psi \in V = H^1_0(\Omega)<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H = L^2(\Omega) \end{eqnarray}$ . Ich habe mir bisher überlegt: $\begin{eqnarray} <br /> a(\phi,\psi) = <\phi,\psi>_{H^1_0} \leq \|\|\phi\|\|_{H^1_0}\|\|\psi\|\|_{H^1_0}\leq \|\|\phi\|\|_W\|\|\psi\|\|_{H^1_0}<br /> \end{eqnarray}$ mit Hilfe von Cauchy-Schwarz. Jetzt habe ich aber ein Problem, da ich ja $\begin{eqnarray} \|\|\psi\|\|_{H^1_0} \end{eqnarray}$ nicht so richtig durch $\begin{eqnarray} \|\|\psi\|\|_{L^2} \end{eqnarray}$ abschätzen kann. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben? :-) Edit: Oh, ich habe ausversehen in Schulmathematik gepostet, vielleicht wäre es eher Hochschulmathematik. Kann ich den Beitrag verschieben? ^^"
29.09.2015, 11:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \\|\ldots\\|_W \end{align}$ ist doch irgendsoeine Sobolevraum-Norm, und wenn ich dein $\begin{align} H^2 \end{align}$ richtig deute, eine zweiter Ordnung. Da scheint mir vor der Norm-Abschätzung also noch ein Schritt "partielle Integration" nötig zu sein, oder wie immer man das bei Distributionen nennt (ist lang her bei mir...). D.h., aus den Ableitungsgraden 1 ( $\begin{align} \phi \end{align}$ ) + 1 ( $\begin{align} \psi \end{align}$ ) wird dadurch dann 2 ( $\begin{align} \phi \end{align}$ ) + 0 ( $\begin{align} \psi \end{align}$ ) gemacht - salopp formuliert, und dann erst "greifen" die beiden genannten Normen.

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