Konstante Funktion

29.09.2015, 15:06

Kaffeeliebhaber

Konstante Funktion

Ich will zeigen dass die holomorphe Funktion
$\begin{eqnarray*} f: C \to C, f(\frac{1}{n})=0 \end{eqnarray*}$
konstant ist.

Bin mir nicht sicher, mit welchem Ansatz ich hier arbeiten muss.. Satz von Gebietstreue?

29.09.2015, 15:17

HAL 9000

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Ich deute das mal so, dass $\begin{align*} f\left( \frac{1}{n} \right) = 0 \end{align*}$ für alle positiven natürlichen Zahlen $\begin{align*} n \end{align*}$ gelten soll - kommt irgendwie nicht so klar rüber in deinem Beitrag.

29.09.2015, 15:33

Kaffeeliebhaber

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Ja genau! Das habe ich vergessen hinzuzufügen!

29.09.2015, 15:39

HAL 9000

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Ich hätte jetzt an den Identitätssatz gedacht, bezogen auf Häufungspunkt 0.

29.09.2015, 15:50

Kaffeeliebhaber

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Gut dann versuch ichs damit Augenzwinkern

Sei G ein Gebiet und die Funktionen f und g analytisch (f ist nach Vorraussetztung holomorph und damit analytisch).
Sei (z_n) mit n aus N eine Folge paarweiser verschiedener Zahlen in G, die in G einen Häufungspunkt besitzen, so dass f(z_n)=g(z_n). für alle n aus N.
Dann gilt g=f.

Das Wäre der Satz, bezogen auf unsere Situation!

Wie verwende ich das aber nun, um zu Zeigen dass f konstant ist? Indem man zeigt, dass g konstant ist?

29.09.2015, 15:57

HAL 9000

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Ich dachte, das sei nun klar: Als Vergleichsfunktion nimmst du schlicht die Nullfunktion $\begin{align*} g(z)=0 \end{align*}$ .

29.09.2015, 16:04

Kaffeeliebhaber

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Ich könnte definieren, dass g(n)=0 für alle n aus N. (Man sieht g ist konstante Funktion.)
Zudem gilt, dass f in 0 einen Häufungspunkt besitzt, da sich der Grenzwert bei 0 beindet.
Daraus folgere ich, dass f(z_n)=g(z_n).
Und mit dem Identitätssatz gilt nun dass f=g. Und da g Konstant ist, ist auch f konstant!

Oder geht meine Folgerung in die falsche Richtung?

29.09.2015, 16:09

HAL 9000

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Ich hätte nicht gedacht, dass es jetzt noch Fragen gibt. verwirrt

Zitat:

Original von Kaffeeliebhaber
Zudem gilt, dass f in 0 einen Häufungspunkt besitzt, da sich der Grenzwert bei 0 beindet.

Was soll das bedeuten, dass eine Funktion einen Häufungspunkt besitzt? Erstaunt1

29.09.2015, 16:15

Kaffeeliebhaber

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Ou das hab ich verwechselt! (z_n) muss ja den Häufungspunkt haben. Wenn (z_n) den Häufungspunkt be 0 hat, folgt dass f(z_n)=g(z_n).

Und dann darf man Identitätzsatz verwenden sodass f=g und folglich g konstant..

Stimmts jetzt?

29.09.2015, 16:28

HAL 9000

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Dein "folglich g konstant" schockiert mich einigermaßen...

Nochmal: $\begin{align*} f \end{align*}$ ist unsere vorgegebene Funktion. Wir selbst wählen nun $\begin{align*} g \end{align*}$ so, dass die Voraussetzungen des Identitätssatzes erfüllt sind, und dazu wählen wir die Nullfunktion, d.h. $\begin{align*} g(z)=0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} z\in\mathbb{C} \end{align*}$ . Dann ist nämlich $\begin{align*} f\left(\frac{1}{n}\right) = 0 = g\left(\frac{1}{n}\right) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ , und da die Menge $\begin{align*} \left\{ \frac{1}{n} \bigm| n\in\mathbb{N}_+ \right\} \end{align*}$ den Häufungspunkt 0 besitzt, gilt laut diesem Identitätssatz $\begin{align*} f=g \end{align*}$ , mithin also $\begin{align*} f(z)=0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} z\in\mathbb{C} \end{align*}$ .

So rum wird ein Schuh draus. Was in deinem Kopf dagegen vorgeht, ist für mich unbegreiflich.

29.09.2015, 16:35

Kaffeeliebhaber

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ich hab mich vertippt und habe statt f ein g geschrieben.

Also brauchen wir das Gebiet G gar nicht und die Folge (z_n) ebensowenig?

Es tut mir leid das ich es nicht so schnell begreife! Aber ich hätte gedacht Fragen zu stellen (auch wenn sie aus deiner Sicht wohl absolut überflüssig sind) ist hier erlaubt traurig

29.09.2015, 16:38

HAL 9000

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Das Gebiet ist schlicht ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , und die Folge ist $\begin{eqnarray*} z_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Kaffeeliebhaber
ich hab mich vertippt und habe statt f ein g geschrieben.

Ja, tut mir leid: Aber wie soll ich nach Sätzen wie dem, den ich 16:09 zitiert habe, einen einfachen Tippfehler f <-> g von einem schweren Verständnisfehler unterscheiden? Zumal das nicht die einzige Stelle war, wo du irgendwas zu g "zeigen" wolltest - was völlig unnötig ist, wenn wir g vollständig selbst definieren.

29.09.2015, 16:46

Kaffeeliebhaber

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Gut danke!! Jetzt hab ichs verstanden! smile

wenn ich jetz eine Aufgabe mit
$\begin{eqnarray*} g: C\to C , Im(g(z))= (Re(g(z)))^{3} \end{eqnarray*}$

Kann ich dann auch hier mit dem Identitätssatz arbeiten?

29.09.2015, 16:49

Kaffeeliebhaber

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Tut mir leid, es sollte hoch 2 statt hoch 3 heißen und hier gilt es für alle z aus C

29.09.2015, 17:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kaffeeliebhaber
$\begin{eqnarray*} g: C\to C , Im(g(z))= (Re(g(z)))^2 \end{eqnarray*}$

Hier würde ich eher an Cauchy-Riemann denken.

29.09.2015, 17:21

Kaffeeliebhaber

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Gut! der Satz ist mir bekannt!
Ich darf ihn verwenden, da die Funktion g holomorph ist und somit komplex Differenzierbar.
Also Folge gelten dann die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.

Hier gilt, dass der Imaginärteil von g dem Quadrat des Realteils entspricht.

Aber wie kann man aus diesem Satz folgern, dass eine Funktion konstant ist?

29.09.2015, 17:24

HAL 9000

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Einfach mal losrechnen! Offenbar hat $\begin{align*} g \end{align*}$ ja die Struktur

$\begin{align*} g(z) = r(z) + i\cdot (r(z))^2 \end{align*}$

mit einer Funktion $\begin{align*} r:\;\mathbb{C}\to \mathbb{R} \end{align*}$ . Jetzt kannst du aus den beiden CR-DGLs Aussagen über dieses $\begin{align*} r \end{align*}$ herleiten.

29.09.2015, 17:46

Kaffeeliebhaber

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Der Realteil von g ist u=r(z)
Der Imaginärteil von g ist v=r(z)^(2)

Aber durch was leite ich hier jetzt ab? Normalerweise ja durch x und y.. Hier würde das aber keinen Sinn machen..

29.09.2015, 18:21

HAL 9000

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Ok, in gewisser Weise stimmt das, also anders: Es ist $\begin{eqnarray*} r:\;\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} g(z) = g(x+iy) = r(x,y) + i\cdot (r(x,y))^2 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt aber!

29.09.2015, 19:15

Kaffeeliebhaber

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$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial \ x}= \frac{\partial r(x,y)}{\partial \ x} = -\frac{\partial r(x,y)^{2} }{\partial \ y}= \frac{\partial v}{\partial \ y} \end{eqnarray*}$

Das ist die erste Gleichung!
Jetz steh ich aber wieder an, und weiß nicht, wie ich diese partiellen Ableitungen verarbeiten kann, weil ich ja keine konkreten werte habe!

29.09.2015, 19:17

Kaffeeliebhaber

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Und das Minus gehört da nicht rein! Hammer

29.09.2015, 19:19

HAL 9000

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Die Kettenregel sollte dir doch geläufig sein: Mit der ist

$\begin{align*} \frac{\partial r^2}{\partial y} = 2r\cdot \frac{\partial r}{\partial y} \end{align*}$ ,

ähnlich bei der zweiten CR-DGL.

29.09.2015, 19:40

Kaffeeliebhaber

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Hätte es jetzt nach r aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} r(x,y)=\frac{\partial u}{\partial \ x}: 2 \frac{\partial v}{\partial \ y} \end{eqnarray*}$

29.09.2015, 19:43

Kaffeeliebhaber

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Statt dem v gehört ein u hin!
Muss bei den formeln besser aufpassen unglücklich

29.09.2015, 20:41

HAL 9000

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Und? Weiter geht's!!! Aus der ersten CR-DGL haben wir nun

$\begin{align*} \frac{\partial r}{\partial x} = 2r\cdot \frac{\partial r}{\partial y} \end{align*}$

und aus der zweiten folgt ganz ähnlich

$\begin{align*} \frac{\partial r}{\partial y} = -2r\cdot \frac{\partial r}{\partial x} \end{align*}$ .

Jetzt setz mal die eine Gleichung in die andere ein ... was folgt dann?

29.09.2015, 21:22

Kaffeeliebhaber

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Ich setze jetzt die 2. Gleichung in die 1. ein:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial r}{\partial x} = 2r\cdot (-2r\cdot \frac{\partial r}{\partial x})=-4r^{2} \frac{\partial r}{\partial x} \end{eqnarray*}$

29.09.2015, 21:44

HAL 9000

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Umgestellt $\begin{align*} (1+4r^2)\cdot \frac{\partial r}{\partial x} = 0 \end{align*}$ , und dividiert durch $\begin{align*} (1+4r^2) \end{align*}$ ergíbt das $\begin{align*} \frac{\partial r}{\partial x} = 0 \end{align*}$ .

29.09.2015, 22:03

Kaffeeliebhaber

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Gut!
Das zeigt uns, dass der Realteil von r kein x enthält! Aber damit is ja noch lange nich gezeigt, dass g konstant ist unglücklich

29.09.2015, 22:18

HAL 9000

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Machst du eigentlich irgend einen Schritt mal selbständig? Irgendwie doch sehr phlegmatisch. unglücklich

Berechne jetzt auch noch $\begin{align*} \frac{\partial r}{\partial y} \end{align*}$ .

P.S.: "Noch lange nich" - hoffentlich revidierst du jetzt diese unsägliche Miesmacherei.

30.09.2015, 09:35

Kaffeeliebhaber

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wenn man jetzt die erste gleichung in die zweite einsetzt erhält man:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial r}{\partial y}=0 \end{eqnarray*}$

Da bedeutet, dass r weder ein x noch ein y enthält!
Kann ich darau folgern, dass r=0 ist?
Wenn das der Fall ist, dann wäre g auch 0 und somit konstant.

30.09.2015, 14:04

HAL 9000

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Nicht r=0, aber zumindest r=konstant kannst du folgern!

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