Beweis dass die Ableitung einer geraden Funktion eine ungerade Funktion ist

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Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis dass die Ableitung einer geraden Funktion eine ungerade Funktion ist
Hallo,

ich soll mit Hilfe der Definition der Ableitung beweisen, dass die Ableitung einer geraden Funktion eine ungerade Funktion ist.

Die Definition der Abeitung ist:

Für eine grade Funktion gilt:
Für eine ungerade Funtkion gilt:

Nun zu meiner Rechnung:
Ich setze vorais, dass die Funktion gerade ist:


Jetzt komme ich zu dem Punkt wo ich mir nicht sicher bin: Ich nehme nun an, dass . Das setze ich für ein, wobei ich den Limes vor die Funktion ziehe, wo ja schon ein Limes steht (DARF ICH DAS?). Da die Limesbildung einmal reicht erhalte ich:



Lg Kaffeevernichter
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis dass die Ableitung einer geraden Funktion eine ungerade Funktion ist
Zitat:
Original von Kaffeevernichter

Ich setze vorais, dass die Funktion gerade ist:



Nur kurz zur Übersicht. Das obige ist nicht analog zu f(x) = f(-x) aufgestellt worden, oder verwirrt ? Denn es wäre eigentlich:

Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DrummerS
Nur kurz zur Übersicht. Das obige ist nicht analog zu f(x) = f(-x) aufgestellt worden, oder verwirrt ? Denn es wäre eigentlich:


Ich glaube nicht, dass das so richtig ist, müsste es nicht lauten:


Bei ist das Argument, und bei einer geraden Funktion gilt, dass der Funktionswert an der Stelle der selbe ist wie an der Stelle .
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »

Beides ist gleichwertig. Wird z.B. die Funktion hierauf angewendet, zeigt sich Folgendes smile :






Für gerade Funktionen gilt dann
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das, dass ich die Ableitung auch schreiben kann als:

verwirrt ?
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du wie oben den Limes hinzufügst, dann ja.
 
 
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Ja natürlich, den Limes habe ich vergessen!

geschockt

Warum sind diese beiden Ausdrücke gleich?
Mein Verdacht: eine Funktion ist dann differenzierbar, wenn die beiden einsteitigen Ableitungen gleich sind. Da der erste Ausdruck von recht gegen den Punkt strebt und der zweite Ausdruck von links gegen den Punkt sind sie dann gleich wenn die Funktion differenzierbar ist.
Das heißt diese Gleichheit gilt nur für differenzierbare Funktionen?
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig! Bei der genannten Gleichung ist es auch unerheblich, ob die Funktion gerade oder ungerade ist. Würde man z.B. die Funktion betrachten, welche eine Polstelle der 2. Ordnung bei besitzt, dann wäre und somit dort nicht differenzierbar.
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin noch einen vollständigen Beweis, dass die Ableitung einer geraden (mindestens einmal differenzierbaren) Funktion eine ungefrade Funktion ist schuldig:

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