Supremum

29.09.2015, 16:58

TraubenSaft

Supremum

Irgendwie habe ich immer wieder mal Probleme mit der eigentlich banalen Bezeichnung des Supremums.

Es gilt ja $\begin{eqnarray*} sup(A)=m \end{eqnarray*}$ falls gilt, dass für alle $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a\leq m \end{eqnarray*}$ ist.

Soweit so gut.
Das Supremum von ganz banalen Mengen wie $\begin{eqnarray*} sup \left\{1,...,6\right\} \end{eqnarray*}$ kann ich mir damit auch erklären.

Manchmal stehen unter dem Supremum allerdings auch Indizes vorallem bei folgen z.B.

$\begin{eqnarray*} \left\{ |X_n - X | > \varepsilon \right\} \subset \left\{\sup_{k\geq n} |X_k - X|>\varepsilon \right\} \end{eqnarray*}$

Ich hätte das ganze aber nun so gedeutet:

Man nehme die Zahl für die der Abstand Maximal wird und darf dabei aus allen $\begin{eqnarray*} n\geq k \end{eqnarray*}$ wählen. Dann würde aber die Teilmengen beziehung nicht gelten.

Wie kann man solch eine schreibweise verstehen? Enthält die Menge alle $\begin{eqnarray*} X_k \text{mit } k\geq n \end{eqnarray*}$ . Wozu schreibt man dann das Supremum noch dahin?

29.09.2015, 17:07

HAL 9000

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RE: Supremum

Zitat:

Original von TraubenSaft
Es gilt ja $\begin{eqnarray*} sup(A)=m \end{eqnarray*}$ falls gilt, dass für alle $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a\leq m \end{eqnarray*}$ ist.

Na, da fehlt aber noch was:

Zitat:

... und es für jedes $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ ein $\begin{align*} a\in A \end{align*}$ mit $\begin{align*} a>m-\varepsilon \end{align*}$ gibt.

Zitat:

Original von TraubenSaft
$\begin{eqnarray*} \left\{ |X_n - X | > \varepsilon \right\} \subset \left\{\sup_{k\geq n} |X_k - X|>\varepsilon \right\} \end{eqnarray*}$

Geht es hier bei den $\begin{align*} X_n \end{align*}$ wirklich nur um Zahlen, oder doch eher um Zufallsgrößen bzw. messbare Funktionen? verwirrt

29.09.2015, 17:32

TraubenSaft

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Die $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ in dem Beispiel waren Zufallsgrößen. Aber macht das einen unterschied? Immerhin nehmen Zufallsgrößen doch auch letztendlich eine reele Zahl als Wert an, oder nicht?

29.09.2015, 17:34

HAL 9000

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Die Zufallsgrößen $\begin{align*} X_n,X \end{align*}$ sind messbare Funktionen $\begin{align*} \Omega\to\mathbb{R} \end{align*}$ , und die von dir verwendete Mengen-Schreibweise ist ausführlich so zu verstehen:

$\begin{align*} \left\{ \omega\in\Omega \bigm| |X_n(\omega) - X(\omega) | > \varepsilon \right\} \subset \left\{ \omega\in\Omega \bigm| \sup_{k\geq n} |X_k(\omega) - X(\omega)|>\varepsilon \right\} \end{align*}$ .

Ich war mir jetzt nicht ganz sicher, ob dir das so bewusst war - jedenfalls ließen mich deine Ausführungen das vermuten.

29.09.2015, 18:00

TraubenSaft

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Mh ja, ich verstehe nun leider trdm. noch nicht so ganz wie ich den ausdruck $\begin{eqnarray*} sup_{k\geq n} \end{eqnarray*}$ zu verstehen habe.

Denn $\begin{eqnarray*} |X_n(\omega) - X(\omega)| > \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist eine reele Zahl.
Davon nehme ich rechts das Supremum. Dann müsste ich nach der Auffassung doch eine gerinege Kardinalität in der rechten Menge haben als in der Linken.

Oder nimmt man das Supremum für alle $\begin{eqnarray*} k\geq n \end{eqnarray*}$ . Dann verstehe ich nur nicht wofür man überhaupt noch das Supremum dahin schreiben muss.

29.09.2015, 18:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von TraubenSaft
Denn $\begin{eqnarray*} |X_n(\omega) - X(\omega)| > \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist eine reele Zahl.
Davon nehme ich rechts das Supremum.

$\begin{eqnarray*} |X_n(\omega) - X(\omega)| \end{eqnarray*}$ ist eine reele Zahl.

Und ebenso ist rechts jedes $\begin{eqnarray*} |X_k(\omega) - X(\omega)| \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl, und zwar für jeden Index $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Betrachten wir nun die Menge dieser Werte, wenn der Index alle Werte $\begin{eqnarray*} k=n,n+1,\ldots \end{eqnarray*}$ durchläuft, und von dieser Wertemenge wird das Supremum genommen.

Zitat:

Original von TraubenSaft
Dann verstehe ich nur nicht wofür man überhaupt noch das Supremum dahin schreiben muss.

Wer redet denn von "muss" ? So herausgelöst wie hier ist doch überhaupt nicht klar, was mit der Menge rechts angestellt werden soll.

29.09.2015, 20:00

TraubenSaft

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Ach gott bin ich dumm.
Ich hab die ganze Zeit (auch wenn du oben bereits die exakte definition der Menge hingeschrieben hast), dass die Menge eben aus den reelen Zahlen $\begin{eqnarray*} |X_n(\omega) - X(\omega)|>\varepsilon \end{eqnarray*}$ bestehen würde.

Dann wäre die Teilmengen aussage nichts anderes als
$\begin{eqnarray*} \left\{ 1,2,3\right\} \subseteq sup \left\{1,2,3\right\} = 3 \end{eqnarray*}$ .

Das wäre ja totaler bockmist. Die Menge besteht aber eben aus den $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$ . Um die Zahlen ansich geht es primär ja garnicht (zumindest sind das nicht die Elemente der Menge).
Jedoch sind rechts eindeutig mehr Elemente $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ vorhanden weil ich eben den Index durchlaufe und der abstand eben nicht schon für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ größer sein soll.

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