Partialsummen einer arithmetischen Reihe

29.09.2015, 18:36

Rbn

Partialsummen einer arithmetischen Reihe

Hallo ihr Lieben,
ich scheitere grade etwas an der Aufgabenstellung bzw. stehe gewaltig auf dem Schlauch. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen, die Aufgabe zu durchschauen.

Aufgabe:
Folgen der Form $\begin{align*} (a+bn)_{n\ge 0} \end{align*}$ mit $\begin{align*} a,b \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \end{align*}$ nennt man arithmetische Folgen.

i) Geben Sie mit Hilfe des ,,Gauss-Tricks" einen allgemeinen Ausdruck für die Partialsumme einer arithmetischen Folge $\begin{align*} s_n =\sum ^{n}_{k=0}(a+bk) \end{align*}$ , mit $\begin{align*} a,b \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \end{align*}$ an.

Meine Lösung: $\begin{align*} s_n=(a+bn)(n+1) \end{align*}$

ii) Berechnen Sie die Summe der Teilfolge der ganzen Zahlen 43, 41, 39, ... , -9. Wie muss man a, b und n wählen?

Mein Ansatz: Ich habe 43 als a gewählt und k als -2, aber damit komme ich nicht weiter. unglücklich

iii) Geben Sie einen allgemeinen Ausdruck für die Summe $\begin{align*} \sum^{n}_{k=q}(a+bk) \end{align*}$ , mit $\begin{align*} q, n \in \mathbb{N}, q\le n \end{align*}$ , an.

Da fällt mir dann leider nichts mehr zu ein. Wir haben heute mit dem Thema im Mathe-Vorkurs an der RWTH angefangen, deswegen fühle ich mich von der Menge und Komplexität der Übungen leicht erschlagen.

Danke im voraus!

29.09.2015, 18:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Rbn
i) Geben Sie mit Hilfe des ,,Gauss-Tricks" einen allgemeinen Ausdruck für die Partialsumme einer arithmetischen Folge $\begin{align*} s_n =\sum ^{n}_{k=0}(a+bk) \end{align*}$ , mit $\begin{align*} a,b \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \end{align*}$ an.

Meine Lösung: $\begin{align*} s_n=(a+bn)(n+1) \end{align*}$

Der erwähnte Gauss-Trick lautet nicht "Letzter Summand * Anzahl Summanden", sondern ?

Zitat:

Original von Rbn
ii) Berechnen Sie die Summe der Teilfolge der ganzen Zahlen 43, 41, 39, ... , -9. Wie muss man a, b und n wählen?

Mein Ansatz: Ich habe 43 als a gewählt und k als -2, aber damit komme ich nicht weiter. unglücklich

Nein, nicht k=-2, sondern b=-2.

Und jetzt überleg weiter: Der letzte Summand entspricht a+bn, also ergibt sich die Bestimmungsgleichung $\begin{eqnarray*} 43-2n = -9 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Rbn
iii) Geben Sie einen allgemeinen Ausdruck für die Summe $\begin{align*} \sum^{n}_{k=q}(a+bk) \end{align*}$ , mit $\begin{align*} q, n \in \mathbb{N}, q\le n \end{align*}$ , an.

Geht eigentlich wieder mit dem Gauss-Trick, natürlich dem "richtigen".

29.09.2015, 19:08

Rbn

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Hallo HAL! Danke für die Antwort.

Der "Gauss-Trick" entspricht wohl dem: $\begin{align*} \sum^{n}_{k=1}k=\frac{n(n+1)}{2} \end{align*}$

Daraus entstand für bei mir diese Rechnung:
$\begin{align*} s_n=\sum^{n}_{k=0}(a+bk)=a+\sum^{n}_{k=1}(a+bk)\\<br /> =a+an+\sum^{n}_{k=1}bk=a(n+1)+b\frac{n(n+1)}{2}\\ <br /> =\frac{(2a+bn)(n+1)}{2}=(a+bn)(n+1) \end{align*}$

Ops. Ich meinte eigentlich b. Da habe ich mich wohl verschrieben.

Der Ansatz mit dem letzten Summanden klingt gut, da bin ich nicht drauf gekommen. Das wäre dann... : $\begin{align*} 26=n \end{align*}$

Zu iii)

q ist ein Element der natürlichen Zahlen, somit 1 oder größer.
Ich versuche es mal:

$\begin{align*} \sum^{n}_{k=q}(a+bk)=na+b\sum^{n}_{k=q}k=na+b\frac{n(n+1)-q(q+1)}{2} \end{align*}$

So?

29.09.2015, 19:10

HAL 9000

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$\begin{align*} \frac{(2a+bn)(n+1)}{2} \end{align*}$ ist richtig, aber $\begin{align*} (a+bn)(n+1) \end{align*}$ ist falsch - Blackout beim Umformen???

Und ich hatte bei "Gauss-Trick" an folgendes gedacht:

"Mittelwert aus ersten und letzten Summanden * Anzahl Summanden"

Damit geht's deutlich schneller.

29.09.2015, 19:24

Rbn

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Blackout kann man nicht sagen, ich hab die 2 vor die Klammer geschrieben.
So lässt sich das aber nicht weiter vereinfachen. Dann kann ich nun ja auch die Aufgabe II lösen, da ich n=26 nun habe..

Unser Prof. hat uns erzählt, dass mit dem Gauß-Trick die Lösung der Summe $\begin{align*} \sum^{n}_{k=1}k \end{align*}$ gemeint sei verwirrt

Verstehe aber was du meinst, das hätte bei der Aufgabe ebenfalls Sinn gemacht, wenn ich mir meine Lösung so ansehe.

Danke HAL!

29.09.2015, 19:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Rbn
Blackout kann man nicht sagen, ich hab die 2 vor die Klammer geschrieben.

Ja eben, Blackout: Es ist $\begin{eqnarray*} 2a+bn = 2\left(a + \frac{bn}{2}\right) \end{eqnarray*}$ .

29.09.2015, 19:34

Rbn

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Okay, man kann es zurecht einen Blackout nennen.

Danke sehr!

Der Vollständigkeit halber, hab ich hier die Berechnung der Summe:

$\begin{align*} (a+0.5bn)(n+1): \\<br /> (43-2\cdot 0.5 \cdot 26)(27)=459 \end{align*}$

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