Ableitung bilden

29.09.2015, 22:37

mafix

Ableitung bilden

Hallo,
ich habe die Aufgabe dieses Integral zu differenzieren und hätte gerne gewusst, wie man das korrekt anschreibt.

$\begin{eqnarray*} \int_{x_0}^x h(\hat{x})d\hat{x} \end{eqnarray*}$

Um dies nach x Abzuleiten muss ich den Hauptsatz der Integralrechnung anwenden oder?

Also $\begin{eqnarray*} \int_{x_0}^x h(\hat{x})d\hat{x}=H(x)-H(x_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\int_{x_0}^x h(\hat{x})d\hat{x})'=(H(x)-H(x_0))'=H(x)'=h(x) \end{eqnarray*}$

29.09.2015, 23:37

DrummerS

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RE: Ableitung bilden
So kompliziert brauchst du es wahrscheinlich nicht zu machen. Vermutlich reicht:

$\begin{eqnarray*} \frac{d\left(\int_{x_{0} }^{x} \! h(\hat{x}) \, d\hat{x} \right) }{d\hat{x}}=h\left(\hat{x}\right), x_{0} \leq \hat{x}\leq x \end{eqnarray*}$

30.09.2015, 07:15

IfindU

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RE: Ableitung bilden
@mafix Stimmt so.
@DrummerS Du hast eine Doppelbelegung von $\begin{eqnarray*} \widehat x \end{eqnarray*}$ oder etwas schon formal falsches stehen.

30.09.2015, 07:19

Leopold

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RE: Ableitung bilden
Variablenkonfusion!

Zitat:

Original von DrummerS
$\begin{eqnarray*} \frac{d\left(\int_{x_{0} }^{x} \! h(\hat{x}) \, d\hat{x} \right) }{d \color{red} \hat{x}}=h\left( \color{red} \hat{x} \color{black} \right), \color{magenta} x_{0} \leq \hat{x}\leq x \end{eqnarray*}$

Die Variable der Funktion ist $\begin{align*} x \end{align*}$ .

30.09.2015, 11:34

DrummerS

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RE: Ableitung bilden
Hallo IfindU, hallo Leopold,

ok, dann scheine ich das Integral tatsächlich nicht zu verstehen. Gibt es eine Internetseite, über die ich dieses Vorgehen und die Bedeutung von $\begin{eqnarray*} h(\hat{x}) \end{eqnarray*}$ und weshalb $\begin{eqnarray*} H'(x_{0}) = 0 \end{eqnarray*}$ verstehen lernen kann (habe leider nicht Mathematik studiert)?

Bei meiner bisherigen Recherche bin ich in Bezug zu $\begin{eqnarray*} \hat{x} \end{eqnarray*}$ beim Ortsoperator (Quantenmechanik) und in Bezug zur Integralschreibweise beim Hauptsatz für Lebesgue-Integrale gelandet.

Habt ihr da vielleicht ein Tipp smile

30.09.2015, 11:59

IfindU

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RE: Ableitung bilden
Das $\begin{eqnarray*} \widehat x \end{eqnarray*}$ ist eine Integrationsvariable, es existiert außerhalb vom Integral nicht! Ähnlich wenn du $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n k\right) = \frac {n(n+1)}2 \end{eqnarray*}$ hast, existiert k nur innerhalb der Summe. Ausdrücke wie $\begin{eqnarray*} k\left(\sum_{k=1}^n k\right) \end{eqnarray*}$ sind sinnfrei, oder das linke k ist nicht das gleiche wie das rechte k. Das sieht man schön daran, weil offensichtlich $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n k\right) = \left(\sum_{l=1}^n l\right) \end{eqnarray*}$ . Den Namen der 'internen' Variable ändert den Wert der Summe offensichtlich nicht -- aka der Wert der Summe hängt nicht von mystischen Variablen k oder l a[b.

So ist auch hier $\begin{eqnarray*} \int_{x_0}^x h(\widehat x) d \widehat x = \int_{x_0}^x h(y) dy \end{eqnarray*}$ nach Unbenennung. Wenn die aber gleich sind, dann ist
$\begin{eqnarray*} \frac{d\left(\int_{x_{0} }^{x} \! h(\hat{x}) \, d\hat{x} \right) }{d\hat{x}} = \frac{d\left( \int_{x_0}^x h(y) dy \right) }{d\hat{x}} \overset ? = 0 \end{eqnarray*}$ .

Die Variablen, die man auch außerhalb des Integrals sieht, sind $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Und hier fasst man das Integrieren eben als Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto \int_{x_0}^x h(y) dy \end{eqnarray*}$ auf. Und man kann die Funktion wie jede andere auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit usw untersuchen. Und es ist der Hauptsatz der besagt, dass die Funktion differenzierbar ist, wenn man h als stetig voraussetzt.

Zitat:

Original von DrummerS
[...] und weshalb $\begin{eqnarray*} H'(x_{0}) = 0 \end{eqnarray*}$ [...]

Dort steht da nicht. Dort steht $\begin{eqnarray*} [H(x_0)]' = \frac d {dx} ( H(x_0)) = 0 \end{eqnarray*}$ . Das ist einfach ein konstanter Wert, der nicht von x abhängt, also verschwindet die Ableitung.

30.09.2015, 12:59

DrummerS

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RE: Ableitung bilden
Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung Freude

! Ich glaube, es jetzt zu verstehen. Habe vorher wegen eines Gedankenfehlers viel zu kompliziert gedacht. Der Gedankenfehler bestand darin, das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als konstante und nicht als variable obere Integrationsgrenze zu sehen Hammer

Logisch, das dann die erste Ableitung aufgrund des konstanten Funktionswertes Null ergibt, unabhängig von der Wahl des Funktionsargumentes, nach dem differenziert wird.

Der Funktionswert (das Ergebnis der Integralberechnung) hängt natürlich ab von der variablen oberen und konstanten unteren Integrationsgrenze und nicht von der Integrationsvariablen, die bei der Berechnung des Integrals als Platzhalter für die Integrationsgrenzen dient und - wie von dir erwähnt - außerhalb des Integrals nicht auftaucht.

So, habe nun den entsprechenden Teil meines Gehirns neu sortiert... smile

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