Anton, Bert, Carl und die Kneipe

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Mr. Munk Auf diesen Beitrag antworten »
Anton, Bert, Carl und die Kneipe
Meine Frage:
Hallo,
ich sitze schon eine Weile vor folgender Aufgabe. Ich komme leider auf keinen grünen Zweig. :-(

"Eines Tages sitzt Carl am Computer und ermittelt mit Google-Earth die Koordinaten der Häuser seiner Freunde. Er stellt fest, dass seine Wohnung 350 Meter von der Kneipe entfernt ist. Zu Bert müsste er von der Kneipe aus 600 Meter und zu Anton 700 Meter weit laufen. Erstaunlich ist, dass die Entfernung (X) zwischen Bert und Anton, Anton und Carl sowie zwischen Carl und Bert jeweils gleich groß ist."

Meine Ideen:
Satz des Pythagoras? Ich habe leider keine Ahnung. unglücklich
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde eher auf den Kosinussatz tippen, habe aber jetzt so schnell auch keine Lösung.
A, B und C bilden ein gleichseitiges Dreieck. Alle Seiten sind X. Die Entfernungen a, b und c sind bekannt ...

PS: Die Bildvorschau ist bei mir schwarz. Beim Draufklicken sieht man das Bild aber. Nicht maßstäblich!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PhyMaLehrer
PS: Die Bildvorschau ist bei mir schwarz. Beim Draufklicken sieht man das Bild aber.

Ich tippe mal drauf, dass das mit der Transparenzfarbe des PNG-Bildes zusammenhängt - vielleicht das nächste Mal drauf achten. Augenzwinkern


P.S.: Fehlt im Eröffnungsposting nicht noch eine Frage? Also sowas wie: Wie groß ist ?

Vermeintlich Selbstverständliches wird wohl gern weggelassen. Augenzwinkern

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EDIT: Ich hab's - mit tatkräftiger Unterstützung durch ein CAS - mal durchrechnen lassen:

Zunächst mal existiert nur dann eine Lösung, wenn die Dreiecksungleichungen erfüllen, d.h. die Seiten eines existierenden Dreiecks (ggfs. entartet) sein könnten, dieses habe den Flächeninhalt . Dann sind die Lösungen

mit Heronformel , wobei

möglich - bei "-" liegt aber wohl außerhalb des gleichseitigen Dreiecks . Augenzwinkern
Mr. Munk Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, so kompliziert? :-O
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine passende Skizze für die Herleitung der Formel:

[attach]39188[/attach]

Dreieck inklusive Punkt entsteht aus durch Drehung um um 60°.
VG Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Vielleicht auch von Bedeutung

S ist der Mittelpunkt des Dreiecks



x=3

bei einer Strecke wäre x=2 (mit A,B)
beim Quadrat 4 usw

VG
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann will ich auch mal:

Kann man nicht einfach die Kneipe in den Ursprung setzen und drei Kreisgleichungen für die Abstände aufstellen?







Und dann noch drei Gleichungen, weil die Abstände von A, B und C zueinander gleich sein müssen:







Sechs Gleichungen, sechs Unbekannte. Das sollte doch zu knacken sein.

Viele Grüße
Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine letzte Gleichung ist obsolet - sie ergibt sich aus den beiden vorher. Augenzwinkern

Also sind es fünf Gleichungen für sechs Unbekannte - was auch nicht verwundert, denn die Punkte A,B,C besitzen ja noch einen gemeinsamen Drehwinkel um den Ursprung als Freiheitsgrad.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Deine letzte Gleichung ist obsolet


Stimmt, danke. Und ich hab die ganze Zeit das Gefühl gehabt, da passt irgendwas nicht, aber hab's nicht gesehen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Also vielleicht gleich mal o.B.d.A. , dann kann man die dritte Gleichung noch weglassen und hat vier Gleichungen für vier Unbekannte.


Ich favorisiere dennoch den obigen geometrischen Zugang, also den mit der "Drehung":

D.h. über die Betrachtung des Vierecks , dessen vier Seitenlängen sowie eine Diagonalenlänge gegeben sind und die andere Diagonalenlänge gesucht ist.
lh2 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man eigentlich auch den Abstand vom Schwerpunkt zur Kneipe berechnen?
Es gibt in der Elektrotechnik die sog Sternpunktverschiebung
und der Abstand ist dann die Sternpunktspannung
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lh2
Kann man eigentlich auch den Abstand vom Schwerpunkt zur Kneipe berechnen?

Man kann: Zu gehört dann dieser Abstand .

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Falls noch jemanden die Berechnung von interessiert, es geht schon sehr elementar (ohne jede Trigonometrie) - ich betrachte mal nur den Fall " innerhalb des Dreiecks ":

Mit den Bezeichnungen



gilt gemäß Pythagoras sowie und .

Nun ist der Flächeninhalt des Dreiecks , es gilt aber ebenso , zudem haben wir im gleichseitigen Dreieck . Nun einsetzen:



Es ist aber auch , und damit folgt analog .

Beide Gleichungen summiert sind wir wegen bei



und damit die obige Formel .


Jetzt könnte man noch einwenden: "Ja aber stimmt doch nur, wenn der Höhenfußpunkt auf der Strecke liegt, d.h. sowohl bei als auch spitze Innenwinkel des Dreiecks liegen."

Da ist was dran, aber da ziehe ich mich so aus der Affäre: O.B.d.A. sei die größte der drei Seiten (ansonsten Ringtausch). Die Symmetrie der Endformel (die ja doch auch zu erwarten war) rechtfertigt letztlich dieses Vorgehen. Augenzwinkern
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