Lp Regularität von Lösungen der Poisson Gleichung

30.09.2015, 18:09	Peter..,-	Auf diesen Beitrag antworten »
Lp Regularität von Lösungen der Poisson Gleichung Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ beschränkt und habe Lipschitzrand. Für ein $\begin{eqnarray} f\in L^2(\Omega) \end{eqnarray}$ existiert genau ein $\begin{eqnarray} u\in H^1_0(\Omega) \end{eqnarray}$ welche schwache Lösung von $\begin{eqnarray} \Delta u=f \end{eqnarray}$ ist. Kennt jemand eine Aussage darüber, ob diese eindeutige Lösung für $\begin{eqnarray} f\in L^p(\Omega) \end{eqnarray}$ auch in $\begin{eqnarray} L^q(\Omega) \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} q>2 \end{eqnarray}$ liegt? Vielleicht sogar $\begin{eqnarray} f\in L^\infty (\Omega) \Rightarrow u\in L^\infty (\Omega) \end{eqnarray}$ . Wäre super wenn mir jemand sagen könnte ob es das gibt und wo ich das ggf nachlesen kann. Gruß, Peter Meine Ideen: ich habe bisher immer nur Aussagen zur Regularität darüber gefunden, dass falls f öfters (schwach) differenzierbar ist, sich soetwas auch auf u überträgt, aber gilt das auch für die Lp Regularität?
30.09.2015, 18:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lp Regularität von Lösungen der Poisson Gleichung Sobolev Einbettungen sagen, dass es sogar für $\begin{eqnarray} f \in L^2 \end{eqnarray}$ dass $\begin{eqnarray} u \in L^q \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} q > 2 \end{eqnarray}$ ist. Was du suchst nennt sich übrigens "Elliptic regularity (in L^p spaces)". Hier zum Beispiel Theorem 15.18.
30.09.2015, 18:44	Peter..,-	Auf diesen Beitrag antworten »
super, ja sowas habe ich gesucht. Danke!

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