Liegen Punkte auf der Geraden?

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Lady_Evil Auf diesen Beitrag antworten »
Liegen Punkte auf der Geraden?
Habe eine Aufgabe gelöst. Allerdings bin ich mir nicht sicher ob diese auch richtig ist. Hoffe Ihr könnt mir helfen. Hier die Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte P1 (1;2;4), P2 (3;2;6), P3 (-2;-4;9).

a) Zeigen Sie dass die Punkte nicht auf der Geraden liegen.

b) Wie müssen die Koordinaten b und c sein, damit der Punkt P4 (-2;b;c) auf der Gerade durch P1 und P2 liegt?

c) Wie lautet die Parameterform der Gleichung der Ebene E, in der die drei Punkte P1, P2und
P3 liegen? Liegt P4 auch in der Ebene E? (mit Begründung!)

d) Welche z-Koordinate muss der Punkt P5(7; 8; z) haben, damit er in der Ebene E liegt?

e) Berechnen Sie die Normalenform der Ebene E.

Meine Lösungen bisher:


a)


Anschließend hab ich ein LGS aufgestellt und festgestellt dass nicht alle Lambdas auf einer Eben sind, weil die Werte nicht alle gleich waren.

b) Hier habe ich wieder eine Gleichung aufgestellt:



beim rechnen des entstandenen GS habe ich die Variablen P4 (-2;4;4) erhalten.

c) hier habe ich diese Gleichung aufgestellt:



Dieses LGS war irgendwie nicht richtig lösbar verwirrt daher gehe ich davon aus dass dieser Punkt auch nicht in der Ebene liegt, aber vielleicht habe ich die vorherigen Gleichungen nicht richtig aufgestellt.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Die gute Nachricht zuerst:

Die Ebene zu Aufgabe c) stimmt fast, nur ein Vorzeichenfehler beim zweiten Richtungsvektor.
Der Rest ist leider falsch.

zu a) Stelle doch erstmal eine Geradengleichung der Form durch die beiden Punkte P1 und P2 auf.
Lady_Evil Auf diesen Beitrag antworten »

So?

Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das zeigt mir, dass du noch nie eine Gerade durch 2 Punkte aufgestellt hast.
Weißt du wie man einen Vektor aus 2 Punkten bestimmt ?
Lady_Evil Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich glaube dann weiß ich das wirklich nicht. Ich habe es so verstanden dass OP der Ortsvektor sein soll. Und die anderen Beiden Punkte/Vektoren (P1+P2) miteinander multiplizieren.
Lady_Evil Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube nun habe ich es:

 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zeige dir jetzt anhand eines Beispiels, wie man aus 2 Punkten eine Geradengleichung in Parameterform aufstellt:

Gegeben sind die Punkte A(1|2|3) und B(4|-3|8)

Eine Gerade durch A und B in Paremeterform lautet







Kannst du das nachvollziehen und auf deine Aufgabe beziehen ?
Lady_Evil Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lady_Evil
Ich glaube nun habe ich es:



War leider zu langsam mit dem editieren Augenzwinkern . Aber ich glaube so dürfte es stimmen, oder?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Mit nem Pluszeichen gefällt mir das noch besser. Augenzwinkern

So, und jetzt schau mal ob der Punkt P3 auch auf dieser Geraden liegt.
Lady_Evil Auf diesen Beitrag antworten »

Na klar sollte das ein "+" sein Big Laugh

Also, nun habe ich diese Gleichung aufgestellt:



Laut meinem LGS bekomme ich für einmal und einmal , daraus schließe ich dass der Punkt P3 nicht auf der Geraden liegt, würde er auf der Geraden liegen dann hätte ich für dreimal den gleichen Wert heraus bekommen.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist korrekt. Freude
Allerdings steht in der zweiten Zeile ja auch schon mit -4=2 eine so genannte falsche Aussage und auch allein deswegen kann der Punkt nicht drauf liegen.

Gehe jetzt ähnlich bei b) vor (auch das ist ja nichts anderes als eine Punktprobe) und löse zunächst die erste Gleichung nach lambda auf.
Lady_Evil Auf diesen Beitrag antworten »

Entstandene Gleichung:



Dann habe ich nach aufgelöst und einmal , dann für b = 2, für c = 1

das habe ich dann alles eingesetzt und ich habe das richtige Ergebnis bekommen Tanzen
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Top. Wink

Wie sieht es bei c) aus ?
Die Ebenengleichung war ja fast richtig (nur -3 statt 3).
Ist dir klar, wie es dann weiter geht ?
Lady_Evil Auf diesen Beitrag antworten »

c) ich hätte nochmal ein GS aufgestellt und nach Lambda und Mü aufgelöst ... aber das will nicht so richtig funktionieren ....
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »



Gleichung 2 kannst du ja direkt nach gamma auflösen.
Kommst du dann weiter ?
Lady_Evil Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so habe ich es gemacht, leider stimmen die Variablen nicht wenn ich die Probe mache ....
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du für gamma raus ?
Was kriegst du für lambda raus, wenn du den Wert für gamma in die 1. Gleichung einsetzt ?
Lady_Evil Auf diesen Beitrag antworten »

Für Gamma/Mü habe ich 0 raus und wenn ich es einsetze . Wenn ich die Probe mache stimmt das auch, allerdings nicht bei der dritten Gleichung .....
Lady_Evil Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lady_Evil
Für Gamma/Mü habe ich 0 raus und wenn ich es einsetze . Wenn ich die Probe mache stimmt das auch, allerdings nicht bei der dritten Gleichung .....


Ich nehme es zurück! Grad eben hat es geklappt, ich hab wohl Tomaten auf den Augen ....
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ist doch bestens.
Wie sieht es nun bei d) und e) aus ?
Lady_Evil Auf diesen Beitrag antworten »

bei d) würde ich wie bei b vorgehen und e) klappt auf jedenfall.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Klingt gut.
Wenn es noch Probleme geben sollte, melde dich. Freude
Lady_Evil Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank lieber Bjoern1982, das hat mir schon sehr viel geholfen!
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