Bestimmtes Integral einer Funktion mittels Partialbruchzerlegung berechnen... findet den Fehler

30.09.2015, 20:03

Unbelehrbar

Bestimmtes Integral einer Funktion mittels Partialbruchzerlegung berechnen... findet den Fehler

Guten Abend!

Hab die folgende Rechnung jetzt zweimal gerechnet und laut Wolframalpha stimmt das Ergebnis leider nicht.

Deshalb möchte ich jetzt erfragen, wo genau ich den Fehler mache, ich finde ihn - auch nach mehrmaligem Durchsehen - leider nicht.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \int_2^3 \frac{3}{x²-5x+4} dx \end{eqnarray*}$

Partialbruchzerlegung:

Erstmal die Nullstellen finden... (trivial, lass ich weg)

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x²-5x+4} = \frac{A}{x-4}+{B}{x-1} \end{eqnarray*}$

A und B berechnen... Koeffizientenvergleich => $\begin{eqnarray*} A = \frac{3}{5}, B = -\frac{3}{5} \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} \frac{3}{x²-5x+4} = \frac{\frac{3}{5}}{x-4}-\frac{\frac{3}{5}}{x-1} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

Dann mal die (unbestimmten) Integrale bilden:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{\frac{3}{5}}{x-4} dx = \frac{3}{5} ln |x-4| + C \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \int \frac{\frac{3}{5}}{x-1} dx = \frac{3}{5} ln |x-1| + C \end{eqnarray*}$

Hier ein Fehler?

Dann würde ich einfach nur mehr die Grenzen einsetzen und käme auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5}ln(2) - \frac{3}{5}ln(2) \end{eqnarray*}$ (da ln(1) = 0 fallen diese Terme gleich weg)

So, und das gibt mir jetzt eben -0,8...

Rauskommen soll aber log(4) = 1,3...

unglücklich

30.09.2015, 20:08

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x²-5x+4} = \frac{A}{x-4}+{B}{x-1} \end{eqnarray*}$

Was ist das für ein Ansatz? verwirrt

30.09.2015, 20:28

Unbelehrbar

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Zitat:

Original von Mathema

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x²-5x+4} = \frac{A}{x-4}+{B}{x-1} \end{eqnarray*}$

Was ist das für ein Ansatz? verwirrt

Ein LaTeX-Fehler Ansatz Augenzwinkern

Da fehlt ein \frac, das ich nicht mehr editieren kann, sorry.

Da steht (auf meinem Papier) natürlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x²-5x+4} = \frac{A}{x-4}+\frac{B}{x-1} \end{eqnarray*}$

Dann einfach das Gleichungssystem lösen smile

30.09.2015, 20:36

Mathema

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So einfach scheint es ja nicht zu sein, deine Ergebnisse sind nämlich verkehrt.

Ohne Rechnung kann ich dir natürlich nicht den Fehler benennen.

Das hätte dir ja auch durch eine Probe auffallen können, indem du wieder auf einen Bruch schreibst.

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x²-5x+4} \neq \frac{\frac{3}{5}}{x-4}-\frac{\frac{3}{5}}{x-1}=\frac{\frac{3}{5}(x-1)-\frac{3}{5}(x-4)}{(x-1)(x-4)}=\frac{\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}-\frac{3}{5}x+\frac{12}{5}}{(x-1)(x-4)}=\frac{\frac{9}{5}}{x^2-5x+4} \end{eqnarray*}$

30.09.2015, 21:50

Unbelehrbar

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Zitat:

Original von Mathema
So einfach scheint es ja nicht zu sein, deine Ergebnisse sind nämlich verkehrt.

Ohne Rechnung kann ich dir natürlich nicht den Fehler benennen.

Das hätte dir ja auch durch eine Probe auffallen können, indem du wieder auf einen Bruch schreibst.

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x²-5x+4} \neq \frac{\frac{3}{5}}{x-4}-\frac{\frac{3}{5}}{x-1}=\frac{\frac{3}{5}(x-1)-\frac{3}{5}(x-4)}{(x-1)(x-4)}=\frac{\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}-\frac{3}{5}x+\frac{12}{5}}{(x-1)(x-4)}=\frac{\frac{9}{5}}{x^2-5x+4} \end{eqnarray*}$

Danke, hab's... doofer Vorzeichen-Fehler.

Und ich noch so: "Das is -1 und +1, ne... mach lieber mal Koeffizientenvergleich, würdeste bei der Prüfung ja auch tun."

Sowas bescheuertes. Aber gut, nach 5 Stunden Mathe mag der Kopf irgendwann nicht mehr smile

30.09.2015, 21:53

Mathema

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Dann wünsche ich nun einen guten Feierabend!

Wink

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