Unbestimmtes Integral von cosx*e^sinx

01.10.2015, 10:32

Unbelehrbar

Unbestimmtes Integral von cosx*e^sinx

Folgendes: Bei einer Differentialgleichung kam ich für die partikuläre Lösung auf:

$\begin{eqnarray*} C'(x) = sin(x) * cos(x) * e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$

Nun ans Integrieren:

Offensichtlich muss ich (mehrfach) partiell integrieren. Nun ist es so, dass ich $\begin{eqnarray*} cos x * e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$ im Kopf integrieren kann. Ich denk mir einfach, wie kam es zu der Gleichung? Und komme zum Schluss, dass e^irgendwas stehen bleibt und die innere Ableitung davor verschwindet.

d.h. es kommt raus $\begin{eqnarray*} e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$ . Nun wollte ich das aber verifizieren, wiederum mittels partieller Integration.
Bei (Mathe) Prüfungen bin ich nämlich ziemlich nervös, da es die letzte in meinem Studium sein soll, umso mehr... und nun stehe ich völlig an.

Bei der partiellen Integration geht nichts weiter, wo ist der Denkfehler?

$\begin{eqnarray*} \int f*g = F * g - \int F * g' \end{eqnarray*}$

Von $\begin{eqnarray*} e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$ kann ich keine Stammfunktion bilden, ergo muss das cos(x) das f sein... nur komm ich dann in eine Rekursion, d.h. in ne endlose Schleife partieller Ableitungen?!

$\begin{eqnarray*} f = cos(x), F = sin(x), g = e^{sin(x)}, g' = cos x * e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int cos(x) * e ^{sin(x)} = sin(x) * e^{sin(x)} - \int sin(x) * cos(x) * e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiter partiell integrieren -> Rekursion unglücklich

01.10.2015, 10:43

Kaffeevernichter

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Also lautet deine Frage: wie integriert man $\begin{eqnarray*} \int cos(x) * e ^{sin(x)}dx \end{eqnarray*}$ ?

Wenn dem so ist würde mein Tipp lauten abstand von der partiellen Integration zu nehmen und es mit anderen Lösungsmethoden für Integrale zu probieren - Substitutionsmethode.

Auch für die Lösung des Integrals $\begin{eqnarray*} \int sin(x) * cos(x) * e^{sin(x)}dx \end{eqnarray*}$ halte hlte ich die Substitutionsmethode in kombination mit der Partiellen Integration für sinnvoll.

01.10.2015, 10:57

DrummerS

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Sehe ich aus so. Mit z.B. $\begin{eqnarray*} u(x) = sin(x) \text{ und } \frac{du\left(x\right)}{dx} = cos\left(x\right) \end{eqnarray*}$ geht es recht schnell.

01.10.2015, 11:11

Unbelehrbar

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Zitat:

Original von Kaffeevernichter
Also lautet deine Frage: wie integriert man $\begin{eqnarray*} \int cos(x) * e ^{sin(x)}dx \end{eqnarray*}$ ?

Wenn dem so ist würde mein Tipp lauten abstand von der partiellen Integration zu nehmen und es mit anderen Lösungsmethoden für Integrale zu probieren - Substitutionsmethode.

Auch für die Lösung des Integrals $\begin{eqnarray*} \int sin(x) * cos(x) * e^{sin(x)}dx \end{eqnarray*}$ halte hlte ich die Substitutionsmethode in kombination mit der Partiellen Integration für sinnvoll.

Magst du mich bei ersterem mal in die richtige Richtung stubsen? Wenn ich u = cos(x) setze, nach du entwickle und ein wenig umforme, komme ich auf Blödsinn -.-

$\begin{eqnarray*} u = cos(x), u' = -sin(x) -> \int u * e^{sin(x)} * - \frac{du}{sin(x)} \end{eqnarray*}$
Jetzt muss ich das sin(x) als u anschreiben, d.h. sin(x) = -u'

d.h. da steht jetzt:

$\begin{eqnarray*} \int u * e^-u' * \frac{du}{u'} \end{eqnarray*}$
Da kann ich keinen ln anwenden und ich steh volle Kanne an... ich brauch ne Pause. unglücklich

Zweitere Gleichung löst sich dann eh automatisch auf, weil da nur erstere drinnen steckt... ich hab die Differentialgleichung ja bereits (richtig) gelöst, ich steh nur an dem blöden Integral an -.-

Also, wenn ich es mal nicht "sehen" sollte -.-

01.10.2015, 11:33

Kaffeevernichter

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Also sprechen wir über das Integral: $\begin{eqnarray*} \int cos(x) * e ^{sin(x)}dx \end{eqnarray*}$

Ich würde folgende substituion machen: $\begin{eqnarray*} u=\sin(x) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} du=\cos(x)dx \end{eqnarray*}$ und weiters $\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{\cos(x) } \end{eqnarray*}$ .

Probiers mal damit. smile

Was studierst du denn?

Kleiner Tipp: Ich habe einen Raspberry Pi 2, da habe ich Raspian installiert und da ist wiederrum Mathematica vorinstalliert. Damit kannst du dir Step-by-Step Solutions von Wolfram anzeigen lassen. Also wenn du noch genug Zeit hast bis zu deiner Prüfung besorg dir einen RPi 2, dann hast du ein nettes kleines Spielzeug, das beim Mathelernen hilft Freude

01.10.2015, 11:42

Belehrbar

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Ich weiß nicht was ihr hier noch groß mit partieller Integration und Substitution rumhantiert.

im ersten Post steht bereits die Stammfunktion inklusive Begründung:
g
Denn g' ist der Integrand.

01.10.2015, 11:59

DrummerS

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Zitat:

Original von Belehrbar
Ich weiß nicht was ihr hier noch groß mit partieller Integration und Substitution rumhantiert.

im ersten Post steht bereits die Stammfunktion inklusive Begründung:
g
Denn g' ist der Integrand.

Deinen Post verstehe ich nicht, denn die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} C'(x) \end{eqnarray*}$ steht nirgendwo im ersten Post.

01.10.2015, 12:27

Leopold

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@ Unbelehrbar

Wie Belehrbar bereits bemerkt hat, bist du der Lösung in deinem ersten Beitrag schon ganz nahe. Warum quälst du dich dann mit irgendwelchen verqueren Gedankenspielen, so kurz vorm Ziel?

Für die partielle Integration wählst du

$\begin{align*} f(x) = \cos(x) \cdot \operatorname{e}^{\sin(x)} \, , \ \ g(x) = \sin(x) \end{align*}$

Von $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ hast du die Stammfunktion $\begin{align*} F(x) = \operatorname{e}^{\sin(x)} \end{align*}$ ja bereits gefunden. Vielleicht ohne es zu wissen oder zu merken, hast du dabei die Substitutionsregel (umgekehrte Kettenregel) angewandt. Und jetzt partielle Integration mit $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} g(x) \end{align*}$ wie in deiner Regel.

01.10.2015, 13:01

Unbelehrbar

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Zitat:

Original von Leopold
@ Unbelehrbar

Wie Belehrbar bereits bemerkt hat, bist du der Lösung in deinem ersten Beitrag schon ganz nahe. Warum quälst du dich dann mit irgendwelchen verqueren Gedankenspielen, so kurz vorm Ziel?

Für die partielle Integration wählst du

$\begin{align*} f(x) = \cos(x) \cdot \operatorname{e}^{\sin(x)} \, , \ \ g(x) = \sin(x) \end{align*}$

Von $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ hast du die Stammfunktion $\begin{align*} F(x) = \operatorname{e}^{\sin(x)} \end{align*}$ ja bereits gefunden. Vielleicht ohne es zu wissen oder zu merken, hast du dabei die Substitutionsregel (umgekehrte Kettenregel) angewandt. Und jetzt partielle Integration mit $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} g(x) \end{align*}$ wie in deiner Regel.

Wie gesagt, das Problem ist es nicht die Differentialgleichung erster Ordnung zu lösen, das habe ich ohne Probleme geschafft.

Das Problem ist nur, das Integral für

$\begin{eqnarray*} C'(x) = sin(x)*cos(x)*e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$

systematisch zu finden. und da scheitert es auch nur an $\begin{eqnarray*} \int cos(x)*e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$

Dass ich dann dasselbe Ergebnis gleich wiederverwende, ist klar. Soviel Logik hab ich intus smile

@Kaffeevernichter: Computer Science... umso trauriger, dass ich an so basics scheitere, wenn ich alle "hardcore"-Lehrveranstaltungen schon hinter mich gebracht habe xD

01.10.2015, 13:27

Kaffeevernichter

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Hast du das Integral nun schon lösen können mit der Substitution die ich dir gezeigt habe?

01.10.2015, 17:18

Unbelehrbar

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Zitat:

Original von Kaffeevernichter
Hast du das Integral nun schon lösen können mit der Substitution die ich dir gezeigt habe?

Ich hoffe es... also ich hoffe ich habe gegen keine Regel verstoßen.

$\begin{eqnarray*} \int cos(x) * e^{sin(x)} dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u = sin(x), \frac{du}{dx} = cos(x), dx = \frac{du}{cos(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int cos(x) * e^{sin(x)} dx = \int u' * e^{u'} * \frac{du}{cos(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int u' * e^{u'} * \frac{du}{cos(x)} = \int cos(x) * e^{u'} \frac{du}{cos(x)} = \int e^{u'} du = e^{u} = e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$

Achja, danke für den Tipp mit dem RPI... vielleicht kann ich mich damit revanchieren: http://www.mathics.org/

Wunderschönen Abend noch!

(Bah, bin ich froh, wenn ich wieder zur diskreten Mathematik zurückdarf... Big Laugh

)

01.10.2015, 17:36

DrummerS

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Im Integral heißt es eigentlich $\begin{eqnarray*} e^{u} \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} e^{u'} \end{eqnarray*}$ , aber das war vermutlich nur ein Schreibfehler smile

. Ansonsten stimmt das Integrationsergebnis.
Und wie sieht es für $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! C'\left(x\right) \, dx \end{eqnarray*}$ aus?

01.10.2015, 17:53

Unbelehrbar

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Zitat:

Original von DrummerS
Im Integral heißt es eigentlich $\begin{eqnarray*} e^{u} \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} e^{u'} \end{eqnarray*}$ , aber das war vermutlich nur ein Schreibfehler smile

. Ansonsten stimmt das Integrationsergebnis.
Und wie sieht es für $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! C'\left(x\right) \, dx \end{eqnarray*}$ aus?

Puh hier treiben sich wohl einige Mathe-Lehrer rum, wie? Big Laugh

Das gibt dann $\begin{eqnarray*} C(x) = e^{sin(x)} * sin(x) - \int e^{sin(x)} * cos(x) \end{eqnarray*}$

Letzteres Produkt/Integral kennen wir ja bereits, ergo:

$\begin{eqnarray*} C(x) = e^{sin(x)} * (sin(x) -1) \end{eqnarray*}$

Meine partikuläre Lösung ist dann:

$\begin{eqnarray*} y_p(x) = e^{-sin(x)} * e^{sin(x)} * (sin(x) - 1) \end{eqnarray*}$

Die Eulen kürzen sich weg Augenzwinkern

:

$\begin{eqnarray*} y_p(x) = sin(x) - 1 \end{eqnarray*}$

die allgemeine Lösung ist dann:

$\begin{eqnarray*} y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{-sin(x)}C + sin(x) - 1 \end{eqnarray*}$

Die homogene Lösung hab ich euch unterschlagen, aber damit hatte ich kein Problem smile

01.10.2015, 18:51

DrummerS

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Kann gut sein, bin allerdings kein Mathe-Lehrer Big Laugh

C(x): Integrationskonstante fehlt vermutlich, ansonsten Freude

01.10.2015, 19:02

Unbelehrbar

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Zitat:

Original von DrummerS
Kann gut sein, bin allerdings kein Mathe-Lehrer Big Laugh

C(x): Integrationskonstante fehlt vermutlich, ansonsten Freude

Wie meinen? In der allgemeinen Lösung bleibt nur mehr ein C stehen, keine Funktion C(X)... ich bin wohl mittlerweile zu geschafft um dir folgen zu können.

Ich hau mich mal langsam aufs Ohr.

Wunderschönen Abend noch und danke allen hier smile

Wenn alles glatt geht, muss ich hier in absehbarer Zeit nicht mehr reinschauen, ich werde es aber dennoch gerne tun Big Laugh

edit: Achso, nein, kA warum genau, wir lassen die Integrationskonstante immer weg, weil wir ja sowieso nach C(X) integrieren und in der homogenen Gleichung ein C haben... es würde auch nichts ändern.

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