Wärmeleitungsgleichung mit Separationsansatz lösen

01.10.2015, 17:12	Gabral	Auf diesen Beitrag antworten »
Wärmeleitungsgleichung mit Separationsansatz lösen Hallo, ich habe ein Verständnisproblem bzgl. der lösung der Wärmeleitungsgleichung. Ich möchte die Wärmeleitungsgleichung samt Lösung mithilfe des Separationsansatzes als kleinen Vortrag halten. Soweit habe ich bei meinen Recherchen den Ansatz und weg verstanden. Allerdings habe ich bei den Eigenwerten große Verständnisprobleme. Mein Beispiel habe ich aus einem Skript. Die Gleichung samt Randbedingungen: $\begin{eqnarray} \frac{\delta^2 u}{\delta x^2} = \frac{1}{\kappa} \frac{\delta u}{\delta t}\qquad 0\textless x \textless \pi \qquad (1) \end{eqnarray}$ Mit der Anfangsbedingung: $\begin{eqnarray} u(x,0)=u_0(x) \qquad (2) \end{eqnarray}$ Mit den isolierten Rändern: $\begin{eqnarray} \delta_x(0,t)=\delta_x(\pi ,t)=0 \qquad t \textgreater 0 \qquad (3) \end{eqnarray}$ Man wendet ja den Separationsansatz an und erhält nach umformen zwei gewöhliche Dgl: Produkansatz: $\begin{eqnarray} u(t,x) = X(x) T(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{\kappa}\frac{T'(t)}{T(t)}=\lambda \qquad (4) \end{eqnarray}$ Erste DGL $\begin{eqnarray} T'(t)=\kappa \lambda T(t) \end{eqnarray}$ Mit der Lösung: $\begin{eqnarray} T_n(t)=d_ne^{-n^2 t \kappa} \end{eqnarray}$ Zweite DGL: $\begin{eqnarray} X''(x)= \lambda X(x) \end{eqnarray}$ Und genau da habe ich Probleme. Die unterscheiden 3 Fälle. Fall 1: $\begin{eqnarray} \lambda =a^2 \textgreater 0 \qquad a \textgreater 0 \end{eqnarray}$ Hier bekommt man 0 als Lösung für die allgemeien Lösung. Fall 2: Lambda=0, hier bekomt man auch 0 als Lösung. Man will ja nicht die 0. Fall 3 habe ich aber Probleme. $\begin{eqnarray} \lambda = -a^2 \textless 0 \qquad a \textgreater 0 \end{eqnarray}$ Daraus folgt im Skript die allgemeine Lösung: $\begin{eqnarray} X(x)=c_1 \cos (ax) + c_2 \sin(ax) \end{eqnarray}$ Und die Ableitung davon: $\begin{eqnarray} X'(x)=-c_1a \sin(ax) + c_2a \cos(ax) \end{eqnarray}$ Mit den Randedingungen folgt: c2=0 $\begin{eqnarray} -c_1 a \sin(a \pi)=0 \end{eqnarray}$ Es wird ja eine von 0 verschiedene Lösung angestrebt. Da setzen die im Skript daraus folgernd $\begin{eqnarray} \lambda=-n^2 \qquad n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Und als Ergebnis: $\begin{eqnarray} X_n(x)=c_n \cos(nx) \end{eqnarray}$ Jetzt meine Frage, wie kommen die auf $\begin{eqnarray} \lambda=-n^2 \end{eqnarray}$ ? Sollte dann im Ergebnis nicht auch $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ statt n stehen in der cos Klammer? Für -c1 lösen die ja die Gleichung und bestimmen wann der Sinus 0 wird einfach oder? Ich bedanke mich vielmals im voraus.
04.10.2015, 00:43	Hero123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wärmeleitungsgleichung mit Separationsansatz lösen Hallo Gabral, aufgrund des Produktansatzes und der verschiedenen Variablen auf linker und rechter Seite der Gleichung müssen beide Seiten konstant sein und man setzt diese Konstante als $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Nun sieht man sofort, dass die eine Seite durch die von dir gegebene Lösung gelöst werden kann und zwar für alle $\begin{eqnarray} n \in IN \end{eqnarray}$ . Hieraus lässt sich das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ bereits zu $\begin{eqnarray} \lambda = -n² \end{eqnarray}$ identifizieren. Ich würde das so aber nicht schreiben, denn $\begin{eqnarray} T_n(t)= d_n e^{-a² \kappa t} \end{eqnarray}$ sollte die Gleichung ebenfalls lösen, hier kann man dann $\begin{eqnarray} \lambda = -a² \end{eqnarray}$ ablesen und dies eig. für $\begin{eqnarray} a \in C \end{eqnarray}$ (zumindest erstmal rein mathematisch). Die Fallunterscheidung erschließt sich mir nicht ganz für $\begin{eqnarray} \lambda = 0 \end{eqnarray}$ wird in der Tat nur durch die Nulllösung, aufgrund der Randbedingungen gelöst. Aber belassen wir es mal hierbei. Mit der von dir angegebenen Funktion kann man die DGL auf jeden Fall lösen und im Argument des $\begin{eqnarray} sin() \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} cos() \end{eqnarray}$ muss natürlich $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ in einfacher Potenz auftreten, da das zweifache Ableiten dann ein $\begin{eqnarray} -a² \end{eqnarray}$ liefert. Aufgrund der Nebenbedingung sieht man dann sofort, dass $\begin{eqnarray} a \in IN \end{eqnarray}$ sein muss, damit $\begin{eqnarray} sin(a \pi)=0 \end{eqnarray}$ gilt. Als Anmerkung im allg. Fall bekommt man als Lösung erstmal $\begin{eqnarray} c_1 e^{at}+c_2 e^{-at} \end{eqnarray}$ , die Auswirkungen von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , müsste man hier noch diskutieren und für welche a sich Lösungen ergeben. eine Möglichkeit ist eben a rein komplex, damit ergibt sich $\begin{eqnarray} a²=-n² \end{eqnarray}$ . Wie es nun für rein reelle bzw. für nicht verschwindenden Real- und Imaginärteil aussieht, muss man eben noch prüfen. Ich hoffe, das hilft dir weiter. Grüße Hero (Edit: Ich hatte mich vorhin kurz verschaut und die Lösung der DGL angeglichen)

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