Unterschied normale/separable Körpererweiterung

01.10.2015, 18:08

jakkel91

Unterschied normale/separable Körpererweiterung

Meine Frage:
Hallo! Wir haben folgende Definitionen von normaler und separabler KE in unserem Skript:
NORMALE KE:
Ein algebraischer EK K von k heisst normal, falls gilt: ist f(x) ein beliebiges irreduzibles Polynom in k[x], das eine Nullstelle in K hat, so zerfällt f(x)uber K.

SEPARABLE KE:
Sei k ein Körper. Man sagt, dass das Polynom f(x) ? k[x] vom Grad n separabel ist, falls es n verschiedene Nullstellen hat in einem Zerfällungskörper(und damit in jedem - sie sind ja alle isomorph).
Ist K ein EK von k, so heisst ein Element u ? K separabel über k, falls u algebraisch ist über k und sein Minimalpolynom p(x) separabel ist.
Der EK K heisst separable Erweiterung (oder separabel über k,), falls jedes Element von K separabel ist über k.

Meine Ideen:
Ich verstehe einen Unterschied:
Normal KE: ganze Polynom zerfällt (Nullstellen müssen nicht verschieden seien)
Separable KE: Nullstellen müssen verschieden sein.
Ich verstehe nicht warum Separable KE nicht Normale KE impliziert, da in der Def steht "Man sagt, dass das Polynom f(x) ? k[x] vom Grad n separabel ist, falls es n verschiedene Nullstellen hat in einem Zerfällungskörper." Es kann ja aber eh nicht mehr geben (Fundamentalsatz der Algebra) also zerfällt es ja und ist somit normal!? Ich versteh die Beispiele im Internet leider nicht. Passt bei den DEFs was nicht? MfG Jakob

01.10.2015, 18:52

Elvis

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Alle Körper der Charakteristik 0 sind separabel. Das gilt insbesondere für den folgenden Körper, da $\begin{eqnarray*} X^3-2 \end{eqnarray*}$ genau 3 komplexe Nullstellen hat.
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]2)/\mathbb Q\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist nicht normal, denn dieser Körper enthält nicht die beiden komplexen Nullstellen von $\begin{eqnarray*} X^3-2\in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ .
Also : "separabel" impliziert nicht "normal" .

01.10.2015, 19:37

jakkel91

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Danke für deine Hilfe smile

dass diese Körpererweiterung nicht normal ist, ist mir klar
aber wieso separabel? den satz mit der Charakteristik nehm ich mal so hin, aber mit meiner Def passt das dann nicht zusammen oder?
Auszug: "Sei k ein Körper. Man sagt, dass das Polynom f(x) e k[x] vom Grad n separabel ist, falls es n verschiedene Nullstellen hat in einem Zerfällungskörper."
Das Polynom x^3-2 hat ja Grad 3 , hat aber nicht 3 Nullstellen in diesem Körper sonder nur in C. Wieso ist dieses KE dann separabel, wenn das Polynom nicht separabel ist???
lg, danke

01.10.2015, 19:43

jakkel91

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das Polynom ist zwar separabel ( mit Zerfällungskörper C)
und Q(3wurzel(2)) ist eine separable Erweiterung (weil 3 Nullstelle in C)
Muss Q(3wurzel(2)) also nicht der Zerfällungskörper vom Minimalpolynom x^3-2 sein?

02.10.2015, 10:01

Elvis

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Deine Definition "separabel" ist in Ordnung. Der Satz, dass jeder Körper der Charakteristik 0 separabel ist, folgt daraus, dass ein irreduzibles nichtkonstantes Polynom f genau dann mehrfache Nullstellen hat, wenn die Ableitung f' verschwindet (siehe z.B. Bosch "Algebra" § 3.6) . Ein Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \mu(\alpha) \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel, denn sonst gäbe es ein Polynom kleineren Grades, das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ annulliert.

Das Polynom $\begin{eqnarray*} X^3-2\in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ hat den Zerfällungskörper $\begin{eqnarray*} K=\mathbb Q[X]/(X^3-2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X^3-2 \end{eqnarray*}$ hat dort 3 verschiedene Nullstellen. Der Zerfällungskörper ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Weil $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist, der $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ enthält, enthält $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ genau einen zu $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ isomorphen Teilkörper, dieser ist galoisch (normal und separabel) über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Die Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]2,e^{i\frac {2\pi} 3}\sqrt[3]2,e^{i\frac {4\pi} 3}\sqrt[3]2 \end{eqnarray*}$ mit der reellen $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]2 \end{eqnarray*}$ und der komplexen 3. Einheitswurzel $\begin{eqnarray*} e^{i\frac {2\pi} 3} \end{eqnarray*}$ . Wenn man zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ die reelle Zahl $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]2 \end{eqnarray*}$ adjungiert, erhält man nur den reellen Teilkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]2) \end{eqnarray*}$ . Weil dieser keine komplexen Zahlen enthält, kann er nicht der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} X^3-2 \end{eqnarray*}$ sein, insbesondere kann er nicht normal sein, denn er enthält eine aber nicht alle Nullstellen dieses Polynoms.

02.10.2015, 10:09

jakkel91

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DANKE!

02.10.2015, 10:16

RavenOnJ

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Zitat:

Original von jakkel91
das Polynom ist zwar separabel ( mit Zerfällungskörper C)

$\begin{align*} \mathbb C \end{align*}$ ist nicht der Zerfällungskörper. Dieser ist nur in $\begin{align*} \mathbb C \end{align*}$ enthalten. Der Zerfällungskörper ist der minimale Erweiterungskörper von $\begin{align*} \mathbb Q \end{align*}$ , der alle Wurzeln des Polynoms enthält.

02.10.2015, 10:18

Elvis

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Ja, ich dachte, das hätte ich ausführlich erklärt.

02.10.2015, 10:29

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Elvis
Ja, ich dachte, das hätte ich ausführlich erklärt.

Ich hatte das viel früher geschrieben und später abgeschickt ohne deinen Beitrag gelesen zu haben. Sorry Elvis.

02.10.2015, 10:32

Algebraiker_15

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Das Polynom $\begin{eqnarray*} X^3-2 \end{eqnarray*}$ hat nicht den Zerfällungskörper $\begin{eqnarray*} K=\mathbb Q[X]/(X^3-2) \end{eqnarray*}$ .
Denn $\begin{eqnarray*} K \cong \mathbb Q (\sqrt[3]{2}) \end{eqnarray*}$ mittels $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [X] \to \mathbb Q (\sqrt[3]{2}), X\mapsto \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ .
Oder weil $\begin{eqnarray*} [K:\mathbb Q]=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Gal(f)=S_3 \end{eqnarray*}$

02.10.2015, 10:45

Elvis

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Stimmt, danke. Ich hatte auch schon erhebliche Bedenken deswegen. Der Zerfällungskörper muss eine quadratische Erweiterung von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ sein. Gut, dass hier immer jemand auf mich aufpasst. Freude

Nachtrag: Der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} X^3-2 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]2,\sqrt{-3}) \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} X^3-2=(X-\sqrt[3]2)(X+\frac 1 2 \sqrt[3]2+\frac 1 2 \sqrt[3]2\sqrt{-3})(X+\frac 1 2 \sqrt[3]2-\frac 1 2 \sqrt[3]2\sqrt{-3}) \end{eqnarray*}$

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