ln(n+1)<ln(n)+1/n

02.10.2015, 14:28

Kaffeevernichter

ln(n+1)<ln(n)+1/n

Und schon wieder mal eine Frage von Kaffeevernichter - die häufen sich in letzter Zeit. Hammer

Gegeben ist:
$\begin{eqnarray*} \ln\left(n+1\right)<\ln\left(n\right)+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Es gilt diese Ungleichung mit Hilfe eines bekannten Satzes aus der Differentialrechnung zu zeigen.

Ich nehme an dass der Mittelwertsatz der Differentialechnung gemeint ist:
$\begin{eqnarray*} f'\left(\xi \right) = \frac{f\left(b\right) -f\left(a\right) }{b-a} \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} f\left(x\right) \end{eqnarray*}$ stetig auf $\begin{eqnarray*} \left[a,b\right] \end{eqnarray*}$ sein muss und differenzierbar auf $\begin{eqnarray*} \left(a,b\right) \end{eqnarray*}$ .
(Wie ich darauf komme - Ausschlussverfahren. Sonst haben wir noch den Satz von Rolle lernt und die Regel von de l'Hospital. Die finden hier aber beide glaube ich keine Anwendung. Außerdem bietet sich er Mittelwertsatz gut für die Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ an, wie ich aber $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ wählen soll weiß ich nicht.)

Ich bitte um einen Tipp wie ich an das Beispiel heran gehen könnte.

02.10.2015, 14:35

Helferlein

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Versuch es mal mit f(x)=ln(x) und geeigneten Werten für a und b.

02.10.2015, 15:14

Kaffeevernichter

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Zitat:

Original von Helferlein
Versuch es mal mit f(x)=ln(x) ...

Das habe ich mir schon gedacht, bei der wahl der Grenzen scheitert es bei mir. Der natürlich Logaritmus ist doch nur definiert auf $\begin{eqnarray*} \left(0,\infty \right) \end{eqnarray*}$ , also nehme ich an ich muss die Grenzen nehmen die durch $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ festgelegt werden, also $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=n+1 \end{eqnarray*}$ .

Damit bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} f'\left(n\right)=\frac{1}{n}= \frac{\ln\left(n+1\right)- \ln \left(1 \right)} {n} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \ln\left(1\right)=0 \end{eqnarray*}$
Einsetzen liefert:
$\begin{eqnarray*} \ln\left(n+1\right)<\ln\left(n\right)+ \frac{\ln\left(n+1\right)}{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n\ln\left(1+\frac{1}{n} \right)=1<ln\left(n+1 \right) \end{eqnarray*}$
Diese letzte Ungleichung wird doch nicht erfüllt für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ .

Keine Ahunng was nun verwirrt

?!?

Latex korrigiert. (Guppi12)

02.10.2015, 15:18

HAL 9000

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Es ist wohl eher an $\begin{align*} a=n,b=n+1 \end{align*}$ zu denken...

02.10.2015, 15:55

Kaffeevernichter

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es ist wohl eher an $\begin{align*} a=n,b=n+1 \end{align*}$ zu denken...

In meinem Skript steht, dass $\begin{eqnarray*} \xi \in \left(a,b\right) \end{eqnarray*}$ , wenn ich $\begin{eqnarray*} a=n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=n+1 \end{eqnarray*}$ wähle dann ist $\begin{eqnarray*} \xi \in \left(n,n+1\right) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \xi \neq n \end{eqnarray*}$ . Müsste ich nicht ein Intervall wählen das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ beinhaltet verwirrt

.

Ich habe jetzt probiert es mit $\begin{eqnarray*} a=n-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=n+1 \end{eqnarray*}$ zu rechnen aber damit komme ich noch zu keiner sinnvollen Aussage.

P.s.: Sorry wegen dem Formatierungsfehler in meinem vorherigen Post. Kanns jetzt leider nicht mehr bearbeiten.
P.p.s.: Danke für die Korrektur Guppi12!

02.10.2015, 16:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kaffeevernichter
In meinem Skript steht, dass $\begin{eqnarray*} \xi \in \left(a,b\right) \end{eqnarray*}$ , wenn ich $\begin{eqnarray*} a=n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=n+1 \end{eqnarray*}$ wähle dann ist $\begin{eqnarray*} \xi \in \left(n,n+1\right) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \xi \neq n \end{eqnarray*}$ .

Ja, und? Macht doch nichts, jedenfalls gilt für dieses $\begin{align*} \xi \end{align*}$ ja dann $\begin{align*} f'(\xi) = \frac{1}{\xi} < \frac{1}{n} \end{align*}$ , und das ist, was du hier letztendlich benötigst.

Zitat:

Original von Kaffeevernichter
Müsste ich nicht ein Intervall wählen das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ beinhaltet verwirrt

Was immer da absurdes in deinem Kopf vorgeht - es scheint in die total falsche Richtung zu laufen. unglücklich

02.10.2015, 16:38

Kaffeevernichter

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Kaffeevernichter
Müsste ich nicht ein Intervall wählen das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ beinhaltet verwirrt

Was immer da absurdes in deinem Kopf vorgeht - es scheint in die total falsche Richtung zu laufen. unglücklich

Haha - da hast du wohl Recht Big Laugh

...

$\begin{eqnarray*} f'\left(\xi\right)=\frac{1}{\xi}=ln\left(n+1\right)-\ln\left(n\right)<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Umformen der letzten Ungleichung liefert das gesuchte Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} \ln\left(n+1\right)<\ln\left(n\right)+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Jetzt wo ich das Beispiel gerechnet habe verstehe ich was mein Denkfehler war. Ich habe versuche die Erkennnise des Mittelwertsatzes in die Ungleichung einzusetzen anstatt den Mittelwertsatz als Herleitung zu sehen.

Ich schreibe es mittlerweile zwar schon fast täglich ins Forum aber nochaml schadet nicht: DANKE LEUTE! Blumen

02.10.2015, 16:43

HAL 9000

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Ja, du kannst für das $\begin{align*} \xi \end{align*}$ aus dem MWS $\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi) \end{align*}$ nicht einen bestimmten Wert wie $\begin{align*} \xi=n \end{align*}$ erzwingen, da der MWS nur die Aussage macht, dass ein $\begin{align*} \xi \end{align*}$ im Intervall $\begin{align*} (a,b) \end{align*}$ existiert - aber nicht, wo in diesem Intervall es genau liegt.

02.10.2015, 17:12

klauss

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Diese Aufgabe lief m. E. zäh, da Helferleins 1. Antwort vielleicht etwas "knapp" ausfiel.
Den direkten Hinweis, äquivalent das ins Auge springende
$\begin{eqnarray*} ln\left(n+1\right)-\ln\left(n\right)<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
zu zeigen, habe ich daher unterlassen.

Nachdem auch anderweitig über Boardprinzipien diskutiert wird:
Fragt sich, ob sonst ein Verstoß gegen

Das Antworten auf Beiträge
•Viele Köche verderben den Brei (oder so ähnlich). Wenn bereits ein Dialog zwischen User und Helfer besteht und alles glatt läuft, halte Deine Vorschläge solange zurück bis das Problem des Users gelöst wurde. Es ist meistens nicht ratsam den User mit den verschiedensten Vorschlägen zu bombardieren.

vorgelegen hätte ...

02.10.2015, 17:47

Kaffeevernichter

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Hallo klauss,

das die Lösung zäh verlaufen ist stört mich als Fragensteller ehrlich gesagt garnicht. Im Gegenteil dadurch werden für gewöhnlich mehr Aspekte des Themas behandelt ich muss (kann, sollte) weiter Fragen stellen, dabei werden Wissenslücken aufgedeckt und hoffentlich gefüllt. Auf diesem Weg lerne ich mehr dabei und das freut mich. smile

02.10.2015, 17:53

klauss

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Na das ist doch mal eine pädagogisch lobenswerte Haltung. Freude

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