beweis: jedes offene intervall enthält eine zahl der form...

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zitronenfalter Auf diesen Beitrag antworten »
beweis: jedes offene intervall enthält eine zahl der form...
Hallo
Ich habe mit folgender Aufgabe Probleme:
"Beweise, dass jedes offene Intervall den reellen Zahle eine Zahl der Form (p,q sind ganze Zahlen) enthält."
Wenn das Intervall ]a;b[ ist und , gibt es sicher immer so eine Zahl. Ich habe aber keine Ahnung, wie ich zeigen soll, dass es auch eine solche Zahl gibt, wenn gilt.
Hätte mir jemand vielleicht einen Ansatz?
Vielen Dank und liebe Grüsse!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: Die positive Zahl kann für wachsende (betragsmäßig) beliebig klein werden.
zitronenfalter Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme immer noch nicht ganz auf die Lösung.
Mir ist klar, dass man immer in der Form schreiben kann. Und wenn a oder b (die Grenzen des Intervalls) eine ganze Zahl sind, ist die gesuchte Zahl = oder und n wird so gewählt, dass .
Was ist aber, wenn a und b beide nicht ganze Zahlen sind? Ich habe mir gedacht, dass man vielleicht a abrunden kann und dann so weiterfahren, doch mit diesem Ansatz komme ich nicht weiter.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man wählt einfach ein mit . Dann enthält das Intervall wenigstens eine Zahl der Form mit einer ganzen Zahl , was sich z.B. indirekt beweisen lässt. Es spielt dabei nicht die geringste Rolle, ob nun ganz, rational oder irrational sind. unglücklich
DieLösung Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht lässt sich auch Folgendes benutzen: Jede irrationale Zahl enthält jede beliebige endliche Ziffernfolge. Insbesondere lässt sich also jede Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen in der dargestellen Weise schreiben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DieLösung
Jede irrationale Zahl enthält jede beliebige endliche Ziffernfolge.

Das ist falsch.
 
 
DieLösung Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm warum? Das war glaube ich einmal eine Übungsaufgabe im Gerthsen Physik. Vielleicht habe ich den Wortlaut aber auch falsch in Erinnerung.

Ahja: Es waren fast alle irrationalen Zahlen. Ich glaube auch .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz simples Gegenbeispiel: Die Zahl

0,11010010001000010000010....

(jedes Mal eine Null mehr zwischen den immer seltener werdenden Einsen) ist offenbar irrational, da sie nichtperiodisch ist. Und die von dir angegebene Eigenschaft, die angeblich jede irrationale Zahl haben soll, hat diese Zahl ganz offensichtlich nicht.

Und "glauben" reicht nicht: Wenn du eine ernst zu nehmende Lösungsalternative für diese Aufgabe hier anbieten willst, musst du das auch beweisen. Augenzwinkern
DieLösung Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, mal schauen! Die Lösung mit (Binomialentwicklung) ist aber sicher einfacher.
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