In welchem Bereich darf der Parameter liegen, damit die Funktionswerte nicht größer als 30 werden?

03.10.2015, 13:25

ghetz

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In welchem Bereich darf der Parameter liegen, damit die Funktionswerte nicht größer als 30 werden?

Moin zusammen,

gestern stand meine erste Matheklausur an, lief auch an sich echt gut, sollte auch alles richtig haben, außer eben die letzt Teilaufgabe, ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir dabei helfen könntet, ist zwar schon zu spät, aber ich würde trotzdem gerne wissen, wie man auf das Ergebnis kommt, denn meins ist eh falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nun, die Aufgabe lautete sinngemäß:

"Die Wirkstoffkonzentration eines Medikaments wird durch die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) = 20*t*e^{-0,1*k*t} \end{eqnarray*}$ [t in Stunden, f(t) in mg/l] beschrieben."

Den Parameter k sollte man dann in der ersten Teilaufgabe ausrechnen, das ist ca. 0,2 und das ist auch richtig, das weiß ich.

Nun fordert die letzte Teilaufgabe:

"In welchem Bereich darf der Parameter k liegen, damit die Wirkstoffkonzentration dauerhaft unter 30 mg/l liegt?"

Ich hab dann erstmal die Gleichung mit 30 gleichgesetzt, dann nach k umgeformt und dann die Nullstelle bestimmt (fragt mich nicht, wieso Big Laugh

Big Laugh

). Vielleicht gibt's dafür ja noch Ansatzpunkte Big Laugh

Big Laugh

Also, habt ihr ne Idee? Würd mich sehr freuen!

Viele Grüße und Danke schon im Voraus!

03.10.2015, 13:39

Bjoern1982

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"Dauerhaft" finde ich jetzt nicht gerade prickelnd als genaue Zeitangabe bzw. -forderung.
Falls mit "dauerhaft" womöglich "immer" gemeint ist, dann könnte man damit eine Bedingung an die y-Koordinate des Hochpunktes stellen.
Zur Veranschaulichung mal 2 Graphen der Schar:

03.10.2015, 13:46

ghetz

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Oh verdammt, ich muss mich entschuldigen, die Funktion muss heißen:

$\begin{eqnarray*} f(t) = 20*t*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, wie die 0,1 da hinkam verwirrt

verwirrt

Na gut, dass der Hochpunkt dann nicht über 30 liegen, war mir auch klar, nur wusste ich nicht, wie ich den Bereich des Parameters k rechnerisch ermitteln soll...

03.10.2015, 13:49

Bjoern1982

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...und jetzt weißt du es ?

03.10.2015, 13:51

ghetz

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Nein, eigentlich nicht xD

03.10.2015, 13:59

Bjoern1982

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Dann sei froh, dass ich nochmal nachgefragt habe.
Denn wenn du mit sowas wie "war mir eh klar" und "wusste" ---> Vergangenheit antwortest, könnte man auch davon ausgehen, dass die Sache erledigt ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hast in der Aufgabe doch bestimmt schon mal die Koordinaten des Hochpunktes bestimmt, oder ?
Wenn ja, wie lauten sie denn ? (nicht für deinen erwähnten Spezialfall k=0,2 sondern allgemein)

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03.10.2015, 14:17

ghetz

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Ich meinte ja nur, dass mir klar war, dass der Hochpunkt nicht über y=30 liegen darf Big Laugh

Big Laugh

So, ich habe jetzt als Koordinaten für den Hochpunkt $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{k}| \frac{20}{k*e}) \end{eqnarray*}$

Und dann darf f(1/k) ja nicht größer als 30 sein, dann müsste ich doch f(1/k) mit 30 gleichsetzen, oder?

03.10.2015, 14:21

Bjoern1982

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Zunächst nochmal die Frage: Steht in der Aufgabe zufällig noch was von k>0 ?

03.10.2015, 14:27

ghetz

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Das weiß ich gar nicht mehr genau, aber k muss ja auf jeden Fall größer sein als 0,2, wie ich im Graphen sehe

03.10.2015, 14:30

Bjoern1982

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Die Sache ist halt, dass die Graphen für k<0 auch einen eher unrealistischen Verlauf für den Sachverhalt annehmen.
Für k>0 kannst du nun einfach die Ungleichung (nicht Gleichung) $\begin{eqnarray*} \frac{20}{k \cdot e}<30 \end{eqnarray*}$ nach k auflösen.

03.10.2015, 14:36

ghetz

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Ja gut, dann muss k zwischen 0 und $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3e} \end{eqnarray*}$ liegen.

Vielen Dank!
Ich könnt mir in den Ar*** treten, dass ich da nicht in der Klausur drauf gekommen bin :/
Ist doch gar nicht schwierig...

03.10.2015, 14:47

Bjoern1982

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Zitat:

Ja gut, dann muss k zwischen 0 und $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3e} \end{eqnarray*}$ liegen.

Freude

Mach dir nix draus, in einer Drucksituation kommt man eben manchmal nicht auf solche Sachen.
Wenn du vorher in der Aufgabe eh schon mal den Hochpunkt bestimmt hast, dann kann dieser Aufgabenteil eigentlich auch nicht sonderlich viele Punkte geben, da das ja lediglich eine halbe bis ganze Zeile Schreibarbeit ist. Big Laugh

Big Laugh

03.10.2015, 14:50

ghetz

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Na gut, so aufgeregt bin ich eigentlich selten bei Klausuren oder ähnlichem, das war halt ein Zeitproblem, ich hatte noch 7 Minuten für die Aufgabe, was definitiv zu wenig ist.
Das war ja nur auch nur eine von sieben Teilaufgaben von der dritten von drei Aufgaben, wenn die nicht mehr als 5% zählt und sonst alles richtig ist, sind vielleicht mit Glück noch 15 Punkte drin, aber mal schauen Big Laugh

Big Laugh

Zumindest bedanke ich mich herzlich bei dir! smile

smile

03.10.2015, 14:51

Bürgi

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Guten Tag,

nur eine Zwischenfrage und dann bin ich sofort wieder weg:

Da k > 0 folgt aus

$\begin{eqnarray*} \frac{20}{k \cdot e}<30 \end{eqnarray*}$ aber nicht Dein Ergebnis? verwirrt

verwirrt

... und tschüss! Wink

Wink

03.10.2015, 16:53

Bjoern1982

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Richtig, da hatte ich nicht genau hingeschaut - danke, Bürgi. Wink

Wink

@ ghetz

Dein Wert stimmt zwar, jedoch nicht der Bereich.
Für sehr kleine, nah an Null liegende Werte für k, wird $\begin{eqnarray*} \frac{20}{k \cdot e} \end{eqnarray*}$ ja auch extrem groß.
Wie muss der Bereich also statt $\begin{eqnarray*} 0<k<\frac{2}{3 \cdot e} \end{eqnarray*}$ richtig lauten ?

03.10.2015, 21:35

ghetz

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Ich weiß gerade nicht genau, was du von mir willst Big Laugh

Big Laugh

03.10.2015, 21:50

Bjoern1982

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Wenn du die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{20}{k \cdot e}<30 \end{eqnarray*}$ nach k umstellst, dann steht da nicht $\begin{eqnarray*} k<\frac{2}{3 \cdot e} \end{eqnarray*}$ sondern ?

03.10.2015, 23:25

ghetz

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Tut mir leid, irgendwie sehe ich gerade meinen Fehler nicht so ganz, liegt vielleicht daran, dass wir noch was mit Ungleichungen gemacht haben...

04.10.2015, 00:10

Bjoern1982

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Zitat:

Ja gut, dann muss k zwischen 0 und $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3e} \end{eqnarray*}$ liegen.

Nun ist ja $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3e} \end{eqnarray*}$ gerundet etwa 0,25.
Das würde ja bedeuten, dass wenn man jetzt Zahlen für k zwischen 0 und 0,25 einsetzt, dann muss dann ja für die y-Koordinate des Hochpunktes immer was kleineres als 30 rauskommen.
Dann sag ich jetzt einfach mal k=0,01 und wenn wir das in die y-Koordinate des HP einsetzen, erhalten wir $\begin{eqnarray*} \frac{20}{0.01 \cdot e} \approx 735.76 \end{eqnarray*}$ .
Da scheint ja offenbar irgendwas nicht zu stimmen.

Wenn du die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{20}{k \cdot e}<30 \end{eqnarray*}$ nach k umstellst, dann würde ich jetzt z.B. erstmal beide Seiten mit k multiplizieren (wobei k>0 gilt).
Dadurch erhält man dann folglich $\begin{eqnarray*} \frac{20}{e}<30 \cdot k \end{eqnarray*}$ .
Damit steht das k aber jetzt auf der anderen Seite der Ungleichung...
Was hat das dann wohl für Auswirkungen ?

Übrigens ist es egal, wenn ihr jetzt nicht vorher irgendwas mit Ungleichungen zu tun hattet - das ist für diese Aufgabe nicht ausschlaggebend.
Du kennst das "Kleiner-als-Zeichen" und das "Größer-als-Zeichen" und das reicht völlig aus.
Hier benötigt man eben das "Kleiner-als-Zeichen", da in der Aufgabe ja was von "dauerhaft unter 30 mg/l" steht.

Wenn dir das trotzdem unsymphatisch bleibt mit dem "<", dann kannst du es dir ja auch folgendermaßen überlegen:

Betrachte zunächst mal den Fall für k, wo die höchste Konzentration genau 30 mg/l beträgt.
Das führt dann wegen des Schlüsselworts "genau" jetzt auch zu einer Gleichung und keiner Ungleichung, wodurch du eben $\begin{eqnarray*} \frac{20}{k \cdot e}=30 \end{eqnarray*}$ nach k umstellst und damit dann $\begin{eqnarray*} k=\frac{2}{3 \cdot e} \end{eqnarray*}$ erhältst.
Nun sollen die höchsten Konzentrationen aber kleiner als 30 mg/l sein.
Wenn man genau $\begin{eqnarray*} k=\frac{2}{3 \cdot e} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \frac{20}{k \cdot e} \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann kommt genau 30 heraus.
Was muss man aber jetzt für k einsetzen, damit etwas kleineres als 30 rauskommt oder mit anderen Worten: Was führt bei einem Bruch mit konstantem Zähler und der Variable im Nenner dazu, dass der Wert des gesamten Bruches kleiner wird ?

04.10.2015, 11:46

ghetz

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Vielleicht, dass k größer gleich $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3e} \end{eqnarray*}$ sein muss?

04.10.2015, 12:57

Bjoern1982

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Falls k genau $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3e} \end{eqnarray*}$ ist, dann liegt die Konzentration auch bei genau 30 mg/l.
In der Aufgabe steht aber "unter 30".
Bei "höchstens 30" wäre die 30 in der Tat noch mit dabei gewesen.
Daher streiche bei "größer gleich" das "gleich", dann passt es. Freude

Freude

04.10.2015, 13:01

ghetz

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Ich hab die genaue Aufgabenstellung nicht mehr im Kopf, kann auch sein, dass da stand, dass 30 mg/l nicht überschritten werden sollen, dann gehen die 30 ja auch noch.
Vielen Dank dann smile

smile

04.10.2015, 13:09

Bjoern1982

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Keine Ursache und viel Erfolg weiterhin. Wink

Wink

04.10.2015, 13:15

ghetz

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Vielen Dank smile

smile

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