Grenzwert einer Summenfolge

04.10.2015, 14:31

fre4k

Grenzwert einer Summenfolge

Hallo

Ich sitze vor einem Beispiel, in welchen ich eine Folge mittels Sandwich-Theorem abschätzen soll:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \end{eqnarray*}$

Sandwich-Theorem: $\begin{eqnarray*} b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n} \end{eqnarray*}$

Da ich scheinbar den Grenzwert einer Summenfolge noch nicht verstanden habe möchte ich von der Lösung den Ansatz anhand der Folge $\begin{eqnarray*} c_{n} besprechen \end{eqnarray*}$ .

Laut Lösung ist der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} c_{n} = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ -> 1.

Das versteh ich aber nicht. Wenn ich $\begin{eqnarray*} n \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ bilde ändert sich aufgrund des fehlenden k in der Summe ja die Summe nicht und ist immer 1. Und der Bruch selber sollte gegen 0 gehen, weil ja der Nenner immer größer wird oder ?

$\begin{eqnarray*} c_{n} = \frac{1}{n} * \sum\limits_{k=1}^{n} 1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} * \sum\limits_{k=1}^{n} 1 = 0* 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich wäre für etwas Hilfe sehr dankbar !

lg

04.10.2015, 14:56

10001000Nick1

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RE: Grenzwert einer Summenfolge

Zitat:

Original von fre4k
$\begin{eqnarray*} c_{n} = \frac{1}{n} * \sum\limits_{k=1}^{n} 1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} * \sum\limits_{k=1}^{n} 1 = 0* 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Die Summe ist nicht konstant 1. Z.B. ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{1} 1=1, \sum\limits_{k=1}^{2} 1=1+1=2, \sum\limits_{k=1}^{5} 1=1+1+1+1+1=5 \end{eqnarray*}$ .

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