MatrixExponential

04.10.2015, 15:17

DerDieDasEhochWas

MatrixExponential

Meine Frage:
Gegeben sei

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \exp(tA) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe die Matrix zerlegt und auf die Form $\begin{eqnarray*} A = SDS^{-1} \end{eqnarray*}$ gebracht.
Nun gilt doch fuer eine natuerliche Zahl k

$\begin{eqnarray*} \exp(tA) = \sum_{k=1}^\infty \frac{t^kA^k}{k!}=\sum_{k=1}^\infty S\frac{t^kD^k}{k!}S^{-1}=S\left( \sum_{k=1}^\infty \frac{t^kD^k}{k!}\right)S^{-1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das aber nachrechne, so bekomme ich eine Diagonalmatrix mit e hoch t mal die Eigenwerte (-1 und 1) auf der Diagonalen. Ich hab das auch mit wolframalpha ueberprueft und sehe nun nicht ganz wo hier der Wurm drin ist.
Wahrscheinlich muss ich das Exponential auch von den beiden Matrizen S und S^-1 berechen, doch das wuerde dann doch obiger Formel widersprechen.

Vielen Dank fuer eure Hilfe

DerDieDasEhochWas

04.10.2015, 15:42

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DerDieDasEhochWas
Wahrscheinlich muss ich das Exponential auch von den beiden Matrizen S und S^-1 berechen

Nein, das wäre falsch - dein Vorgehen ist schon ganz richtig. Wenn du dennoch was falsches raushast, musst du dich irgendwo verrechnet haben - vielleicht bei $\begin{align*} S \end{align*}$ oder $\begin{align*} S^{-1} \end{align*}$ ?

04.10.2015, 16:13

DerDieDasEhochWas

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL9000, besten Dank fuer deine Antwort.
Es lag an einem dummen Rechenfehler meinerseits. Da wir aber schon dabei sind, noch eine andere Frage bzgl. diesem Thema.
Nehmen wir nun an, die Matrix waere nicht diagonalisierbar und ich muesste stattdessen ueber die Jordansche Normalform gehen. Also $\begin{eqnarray*} A = SJS^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Dann muesste J = D+N gelten (mit N nilpotent) und ich haette dann $\begin{eqnarray*} \exp(tJ) = \exp(t(D+N)) = \exp(tD)*\exp(tN) \end{eqnarray*}$ . Wobei dann $\begin{eqnarray*} \exp(tN) \end{eqnarray*}$ ueber die Reihenentwicklung der E funktion zu berechnen ist. Dann kann ich das Produkt der beiden nehmen und weiter wie im oben gennanten Beispiel fortfahren, ja?

Besten Dank

DerDieDasEhochWas

04.10.2015, 16:24

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DerDieDasEhochWas
Wobei dann $\begin{eqnarray*} \exp(tN) \end{eqnarray*}$ ueber die Reihenentwicklung der E funktion zu berechnen ist.

Ja, wobei das eine "abgebrochene" Reihe ist wg. der Nilpotenzeigenschaft von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ .

04.10.2015, 16:29

DerDieDasEhochWas

Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Vielen herzlichen Dank und einen schoenen Sonntag wuensche ich dir. smile

Neue Frage »

Antworten »

MatrixExponential

Verwandte Themen