Topologie: eine Teilmenge ist kompakt<=>beschränkt und enthält ihr Supremum

04.10.2015, 16:16

CatSpi

Topologie: eine Teilmenge ist kompakt<=>beschränkt und enthält ihr Supremum

Die Angabe:

$\begin{eqnarray*} T := \{ [ - \infty, a): a \in [ - \infty, + \infty ] \} \end{eqnarray*}$

Man zeige für diese Topologie, dass eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} [ - \infty, + \infty ) \end{eqnarray*}$ genau dann kompakt ist, wenn sie nach ober beschränkt ist und ihr Supremum enthält!

Gibt es in $\begin{eqnarray*} [ - \infty, + \infty ) \end{eqnarray*}$ kompakte, nicht abgeschlossene Teilmengen?

Den 2. Punkt habe ich so versucht:

Nein, es gibt keine Teilmengen, die nicht kompakt und nicht abgeschlossen sind. $\begin{eqnarray*} [ - \infty, a ) = \{ x: - \infty \leq x < a \} \end{eqnarray*}$
Damit eine Teilmenge ihr Supremum enthält, muss sie von der Form $\begin{eqnarray*} \{ x: y \leq (<) x \leq sup \} \end{eqnarray*}$ sein. Da diese Teilmenge in der Topologie liegt, muss sie die Form $\begin{eqnarray*} [ - \infty , a) \end{eqnarray*}$ haben, also in diesem Fall $\begin{eqnarray*} [ - \infty, sup] \end{eqnarray*}$ Somit wäre die Menge aber sicherlich abgeschlossen.

Beim ersten Punkt komme ich nicht weiter. Unsere Definition von Kompaktheit einer Menge K ist, dass jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung hat, oder äquivalent dazu, dass jedes Netz $\begin{eqnarray*} (x_i)_{i \in I} \end{eqnarray*}$ in K ein gegen ein $\begin{eqnarray*} x \in K \end{eqnarray*}$ konvergentes Teilnetz besitzt.

05.10.2015, 00:16

CatSpi

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Ich habs jetzt anders gemacht (hoffentlich stimmt das):

Alle offenen Mengen haben hier die Form $\begin{eqnarray*} [ - \infty , a) \end{eqnarray*}$ , also haben alle abgeschlossenen Mengen (also die Komplemente der offenen Mengen) die Form $\begin{eqnarray*} [a, + \infty ) \end{eqnarray*}$ . Alle Mengen, die nicht von dieser Form sind, sind nicht abgeschlossen, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} (a, b ] \end{eqnarray*}$ . Diese Menge wäre bezüglich unserer Topologie nicht abgeschlossen aber kompakt, da sie nach oben beschränkt ist und ihr Supremum enthält.

05.10.2015, 00:24

CatSpi

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Kann ich beim ersten Teil annehmen, dass die Teilmenge $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ enthalten muss?

05.10.2015, 07:21

Guppi12

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Hallo,

worauf betrachtest du diese Topologie eigentlich? $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ kann es nicht sein, denn die offenen Mengen enthalten ja alle $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ , welches keine reelle Zahl ist. Ist es $\begin{eqnarray*} [-\infty,\infty) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Kann ich beim ersten Teil annehmen, dass die Teilmenge $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ enthalten muss?

Nein, natürlich nicht.

Beginne doch erstmal mit der Richtung, dass eine beschränkte Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die ihr Supremum enthält, kompakt ist. Nimm eine beliebige Überdeckung her und zeige (zum Beispiel per Widerspruch), dass es dann schon $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ geben muss mit $\begin{eqnarray*} a>\sup X \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} [-\infty, a) \end{eqnarray*}$ eine der überdeckenden Mengen ist.

Noch zu dem zweiten Teil. Du hast die gesamte Menge als abgeschlossene Menge vergessen, ist aber nicht weiter schlimm, dein Gegenbeispiel passt. Vielleicht ist es noch gut, zu erwähnen, dass keine kompakte Menge abgeschlossen ist, denn das hast du ja herausgefunden.

05.10.2015, 08:24

CatSpi

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Danke!

Sei M nach oben beschränkt und so, dass $\begin{eqnarray*} sup_M = max_m \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \textit{V} \end{eqnarray*}$ eine beliebige offene Überdeckung von M.

Wähle $\begin{eqnarray*} V \in \textit{V}: V= [ - \infty, a) \end{eqnarray*}$ mit max(M)<a $\begin{eqnarray*} \Rightarrow V \supseteq M \Rightarrow \end{eqnarray*}$ M ist kompakt, da es nur ein V gibt und es somit eine endliche Teilüberdeckung ist

05.10.2015, 09:14

Guppi12

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Zitat:

M ist kompakt, da es nur ein V gibt und es somit eine endliche Teilüberdeckung ist

Es gibt nicht nur ein $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , aber du kannst eben eine Teilüberdeckung bestehend aus einem $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ finden. Und warum existiert ein solches $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ? Das musst du begründen.

05.10.2015, 09:22

CatSpi

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$\begin{eqnarray*} \textit{V} \end{eqnarray*}$ ist eine Überdeckung von M. Da die Menge M ihr Supremum enthält, existiert ein $\begin{eqnarray*} max_M=sup_m \end{eqnarray*}$ , also muss man V so wählen können, dass es die Form $\begin{eqnarray*} [ - \infty, a) \end{eqnarray*}$ hat.

05.10.2015, 09:48

Guppi12

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Also mir würde die Begründung so nicht reichen. Aber das ist deine Sache.

05.10.2015, 10:09

CatSpi

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Warum, was stimmt daran nicht?

05.10.2015, 10:24

CatSpi

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Und wie zeige ich die andere Richtung?

05.10.2015, 10:54

Guppi12

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Zitat:

Warum, was stimmt daran nicht?

Es ist ja nicht falsch, die Begründung fehlt nur. Warum kann man denn $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ so wählen? Das behauptest du einfach nur. Dass das Supremum von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein Maximum ist, ist nur ein Bruchteil der Begründung.

Für die andere Richtung könntest du zum Beispiel zuerst eine Überdeckung einer beliebigen unbeschränkten Menge angeben, die keine endliche Teilüberdeckung hat und im zweiten Schritt eine Überdeckung einer beschränkten Menge, die aber ihr Supremum nicht enthält, angeben, die keine endliche Teilüberdeckung hat. Damit hast du gezeigt, dass kompakte Mengen beides erfüllen müssen: Beschränktheit und Enthalten des Supremums.

05.10.2015, 14:30

CatSpi

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Kann ich es auch so machen?

$\begin{eqnarray*} M \subseteq [ - \infty, + \infty ) \end{eqnarray*}$

M muss eine folgender drei Formen besitzen:

$\begin{eqnarray*} M = [ - \infty , x) : x \in [ - \infty, + \infty ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \textit{V} := \{ [ - \infty , a): a \in [ - \infty, x) \} \end{eqnarray*}$ ist eine offene Überdeckung

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \nexists \textit{O} \subseteq \textit{V} : \textit{O} \end{eqnarray*}$ eine endliche Teilüberdeckung von M ist $\begin{eqnarray*} ( \Cup_{O \in \textit{O}} \nsupseteq M ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ M ist nicht kompakt

$\begin{eqnarray*} M= [ - \infty, x]: x \in [ - \infty, + \infty ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ für alle offenen Überdeckungen $\begin{eqnarray*} \textit{V} \subseteq T \exists V \in \textit{V} : V = [ - \infty , a) \end{eqnarray*}$ mit x<a $\begin{eqnarray*} \Rightarrow V \supseteq M \Rightarrow \end{eqnarray*}$ M ist kompakt

$\begin{eqnarray*} M = [ - \infty, + \infty ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \textit{V} = \{ [ - \infty , a): a \in [ - \infty , + \infty ) \} \end{eqnarray*}$ ist eine offene Überdeckung

$\begin{eqnarray*} \nexists \textit{O} \in \textit{V} : \textit{O} \end{eqnarray*}$ eine endliche Teilüberdeckung von M ist [/l]

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ M ist nicht kompakt

Also folgt $\begin{eqnarray*} M \subseteq [ - \infty, + \infty ) \end{eqnarray*}$ ist kompakt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow M= [ - \infty, x] : x \in [ - \infty , + \infty ) \end{eqnarray*}$

Falls M diese Fom hat existiert eine offene Überdeckung $\begin{eqnarray*} \textit{V} \in T \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} \exists V \in \textit{V} : V = [ - \infty, a) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x < a < + \infty \Rightarrow M \subseteq V \end{eqnarray*}$ und V ist nach oben durch a beschränkt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ M ist nach oben durch a beschränkt

Da $\begin{eqnarray*} x = sup_M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ liegt das Supremum von M in M.

05.10.2015, 15:09

Guppi12

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$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ muss nicht eine der drei Formen haben, es wäre zum Beispiel auch $\begin{eqnarray*} M = \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ möglich. (Dieses $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist kompakt.)

Dein Beweis ist damit leider hinfällig.

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