Abbildung von Hausdorffschen Räumen in die Initialtopologie

04.10.2015, 18:05

OhNo234

Abbildung von Hausdorffschen Räumen in die Initialtopologie

Hallo! Ich habe folgende Übungsaufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} < X_i , T_i > , i \in I \end{eqnarray*}$ , topologische Räume, sei Y eine Menge, und seien $\begin{eqnarray*} f_i: Y \to X_i , i \in I \end{eqnarray*}$ Abbildungen. Bezeichne mit T die initiale Topologie auf Y bezüglich der Familie $\begin{eqnarray*} \{ f_i : i \in I \} \end{eqnarray*}$ von Abbildungen.

Sei vorausgesetzt, dass die Familie $\begin{eqnarray*} \{ f_i : i \in I \} \end{eqnarray*}$ punktetrennend operiert, d.h. dass es zu je zwei verschiedenen Punkten $\begin{eqnarray*} a,b \in Y \end{eqnarray*}$ eine Funktion $\begin{eqnarray*} f_{i_0} \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f_{i_0} (a) \ne f_{i_0} (b) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie: Sind alle Räume $\begin{eqnarray*} < X_i, T_i > \end{eqnarray*}$ Hausdorff, so hat auch <Y,T> diese Eigenschaft. Zeigen Sie auch: Sind alle Räume $\begin{eqnarray*} < X_i, T_i > \end{eqnarray*}$ Hausdorff, so auch $\begin{eqnarray*} ( \Pi X_i , \Pi T_i ) \end{eqnarray*}$

Den ersten Teil habe ich:

Seien $\begin{eqnarray*} a, b \in Y_i , a \ne b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} < X_{i_0}, T_{i_0} > \end{eqnarray*}$ ist Hausdorff $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists \end{eqnarray*}$ disjunkte offene Mengen $\begin{eqnarray*} O_{f_{i_0}} (a) , O_{f_{i_0}} (b) \in T_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_{i_0} (a) \in O_{f_{i_0}} (a) , f_{i_0} (b) \in O_{f_{i_0}} (b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \emptyset = f_{i_0}^{-1} ( O_{f_{i_0}} (a) \cap O_{f_{i_0}} (b) ) = f_{i_0}^{-1} ( O_{f_{i_0}} (a) ) \cap f_{i_0}^{-1} ( O_{f_{i_0}} (b) ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{i_0}^{-1} ( O_{f_{i_0}} (a) ) \in T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{i_0}^{-1} ( O_{f_{i_0}} (b) ) \in T \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f_{i_0} T|T_{i_0} \end{eqnarray*}$ stetig ist

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow <Y,T> \end{eqnarray*}$ ist Hausdorff

Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} ( \Pi X_i , \Pi T_i ) \end{eqnarray*}$ Hausdorff ist. Da mir da jemand vielleicht einen Ansatz geben?

04.10.2015, 20:03

steviehawk

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RE: Abbildung von Hausdorrfschen Räumen in die Initaltopologie
Hallo,

ich weiß nicht 100% ob das zum Ziel führt, aber du könntest vielleicht so ansetzen:

Seien $\begin{eqnarray*} (X_i, T_i) \end{eqnarray*}$ separierte top. Räume. Also top. Räume die hausdorffsch sind, oder eben das 2te Trennungsaxiom (T2) erfüllen.

Wir betrachten $\begin{eqnarray*} (X, T) := \prod_{i \in I}(X_i, T_i) \end{eqnarray*}$

Wir wollen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (X,T) \end{eqnarray*}$ ebenfalls T2 erfüllt. Wir geben dazu einfach die disjunkten Umgebungen an.

Sei $\begin{eqnarray*} a,b \in X \end{eqnarray*}$ dann wählen wir $\begin{eqnarray*} a \in U := U_1 \times U_2 \times ... \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} b \in V := V_1 \times V_2 \times ... \end{eqnarray*}$

dabei sind $\begin{eqnarray*} U_i, V_i \end{eqnarray*}$ gerade die offenen Mengen, die die beiden i-ten Koordinaten $\begin{eqnarray*} a_i, b_i \in X_i \end{eqnarray*}$ trennen. Also $\begin{eqnarray*} U_i, V_i \in T_i \end{eqnarray*}$

Wenn wir nun annehmen, dass es ein $\begin{eqnarray*} w \in U \cap V \end{eqnarray*}$ gäbe, dann muss für mindestens ein $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ gelten: $\begin{eqnarray*} w_i \in U_i \cap V_i \end{eqnarray*}$ . Das ist aber ein Widerspruch, da wir diese ja als disjunkt gewählt hatten.

So, das war jetzt mein erster Einfall.. Gruß Stevie

04.10.2015, 20:13

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RE: Abbildung von Hausdorrfschen Räumen in die Initaltopologie
$\begin{eqnarray*} \Pi T_i \end{eqnarray*}$ ist eine initiale Topologie auf $\begin{eqnarray*} \Pi X_i \end{eqnarray*}$

04.10.2015, 20:45

steviehawk

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RE: Abbildung von Hausdorrfschen Räumen in die Initaltopologie
ah stimmt smile

Für $\begin{eqnarray*} x,y \in X := \prod X_i \ x \neq y \end{eqnarray*}$ betrachtet man dann einfach die Projektionen $\begin{eqnarray*} \pi_i \end{eqnarray*}$ auf die i-te Komponente.

Da $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ folgt, dass es mindesntes ein $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ gibt, so dass gilt $\begin{eqnarray*} \pi_i(x) \neq \pi(y) \end{eqnarray*}$ . Nun lassen sich $\begin{eqnarray*} \pi_i(x), \pi_i(y) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ trennen. Die Urbilder dieser trennenden Mengen sind dann offene disjunkte Umgebungen von $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$

04.10.2015, 21:46

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RE: Abbildung von Hausdorrfschen Räumen in die Initaltopologie
Ich hätte in diesem zweiten Aufgabenteil einfach geerntet, was ich im ersten gesät habe.

04.10.2015, 22:48

OhNo234

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Super, danke!! Ja, das macht Sinn.

05.10.2015, 07:49

OhNo234

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Ich wollte nur schnell fragen, ob ichs so richtig verstanden/aufgeschrieben habe...

Seien $\begin{eqnarray*} x, y \in X:= \Pi X_i , x \ne y \end{eqnarray*}$ beliebig

$\begin{eqnarray*} x \ne y \Rightarrow \exists \end{eqnarray*}$ mind. ein $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} {\pi}_i (x) \ne {\pi}_i (y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists \end{eqnarray*}$ disjunkte offene Mengen $\begin{eqnarray*} O_{{\pi}_{i}} (x) , O_{{\pi}_{i}} (y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} {\pi}_{i} (x) \in O_{{\pi}_{i}} (x) , {\pi}_{i} (y) \in O_{{\pi}_{i}} (y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \emptyset = {\pi}_{i}^{-1} ( O_{{\pi}_{i}} (x) \cap O_{{\pi}_{i}} (y) ) = {\pi}_{i}^{-1} ( O_{{\pi}_{i}} (x) ) \cap {\pi}_{i}^{-1} ( O_{{\pi}_{i}} (y) ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow < \Pi X_i , T_i > \end{eqnarray*}$ ist Hausdorff

05.10.2015, 14:00

OhNo234

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URL: Wie kann man das Ergebnis aus dem ersten Aufgabenteil übertragen? Kann ich einfach damit argumentieren, dass die Produkttopologie eine spezielle Form der Initialtopologie ist und ich daher $\begin{eqnarray*} \prod_{i \in I}(X_i, T_i) \end{eqnarray*}$ für Y ersetzen kann?

05.10.2015, 14:30

steviehawk

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Also nochmal ausführlich:

Wir haben den Produktraum $\begin{eqnarray*} (X, T) = \prod_{i \in I}(X_i, T_i) \end{eqnarray*}$ , dazu gehören die kanonischen Projektionen $\begin{eqnarray*} \pi_i(X) \to X_i \end{eqnarray*}$

Wir wollen natürlich, dass alle Projektionen stetig sind. Also sollte die Topologie $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zumindest für jedes $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ die Familie $\begin{eqnarray*} p_i^{-1}(T_i) = \{ p_i^{-1}(U) | U \in T_i \} \end{eqnarray*}$ enthalten.

$\begin{eqnarray*} \mathcal E := \bigcup_{i \in I} p_i^{-1}(T_i) \end{eqnarray*}$ ist aber i.A. noch keine Topologie (beim Schnitt schon). Daher müssen wir davon die erzeugte Topologie nehmen. Also:

$\begin{eqnarray*} T = \tau (\mathcal E) \end{eqnarray*}$

(spricht man hier dann trotzdem von $\begin{eqnarray*} "DER" \end{eqnarray*}$ initialen Topologie? Ich muss ja noch erzeugen..)

Nun zur Frage!

Im zweiten Teil zeigst du einen Spezialfall des ersten Teils. Hier sind dann die Projektionen $\begin{eqnarray*} \pi_i \end{eqnarray*}$ gerade deine $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ . Die Projektionen operieren punkttrennend. Da du im ersten Teil schon gezeigt hast, dass aus der Separabilität der einzelnen Räume die Separabilität des Raumes der die initiale Topologie trägt folgt,(bezüglich der Familie $\begin{eqnarray*} \{ f_i\}_{i \in I} \end{eqnarray*}$ ), kannst du das jetzt auf die Situation mit dem Produktraum übertragen. Dieser trägt gerade die initiale Topologie bezüglich den Projektionen (man muss aber meines Wissens noch den $\begin{eqnarray*} \tau - \end{eqnarray*}$ Operator anwenden, aber das ist nicht so schlimm, da die Topologie dadurch noch größer wird oder gleich bleibt).

Gruß Stevie

05.10.2015, 15:42

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Wie ich schon sagte

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Pi T_i \end{eqnarray*}$ ist eine initiale Topologie auf $\begin{eqnarray*} \Pi X_i \end{eqnarray*}$

Zu ergänzen wäre dann nur noch gewesen "...bzgl. der Projektionen $\begin{eqnarray*} \pi_i \end{eqnarray*}$ und diese sind punktetrennend"
Also kann man einfach $\begin{eqnarray*} Y= \Pi X_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_i=\pi_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T= \Pi T_i \end{eqnarray*}$ setzen

05.10.2015, 18:32

OhNo234

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Vielen, vielen Dank euch beiden, jetzt verstehe ich die Übungsaufgabe endlich! smile

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