Konvergenz einer Reihe von Integralen

04.10.2015, 20:24

Kaffeevernichter

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Konvergenz einer Reihe von Integralen

Hallo,

Kaffeevernichter mal wieder. Wink

Wink

Ich habe folgendes Beispiel gegeben:

Gegeben sei die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n}\int_{0}^{1} \! f(x)e^{-nx} \, dx \end{eqnarray*}$ .
Dabei sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine auf $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ stetige Funktion. Entscheiden Sie ob die Reihe (absolut) konvergiert. [Bitte genaue begründung]

Kriterien zum Nachweiß der absoluten konvergenz die ich kenne sind: Quotientenkriterium, Wurzelkriterium und Majorantenkriterium.

Ich habe leider garkeine Idee wie ich das Integral in irgendeinem dieser Kriterien bearbeiten könnte. Hilfe

Hilfe

04.10.2015, 20:29

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RE: Konvergenz einer Reihe von Integralen
Majorantenkriterium ist nützlich

04.10.2015, 20:45

Kaffeevernichter

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Okay, und was mache ich mit dem Intagral?
Kann ich über das Integral irgendeine Aussage treffen? verwirrt

verwirrt

04.10.2015, 20:47

URL

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Ja, warum sollte das nicht gehen?

04.10.2015, 21:13

Kaffeevernichter

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Oho

Idee!

Ich ziehe den Mittelwertsatz der Integralrechnung heran um über das Integral eine aussage zu treffen:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n}\int_{0}^{1} \! f(x)e^{-nx} \, dx=\frac{1}{n}f\left(\xi\right) \int_{0}^{1}e^{-nx}= \frac{1}{n^2}f\left(\xi\right)\left(1-e^{-n}\right) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \xi\in \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f\left(\xi\right) \end{eqnarray*}$ ist irgendeine reelle Zahl und somit nicht weiter wichtig für die Konvergenz.

$\begin{eqnarray*} f\left(\xi\right)\sum \limits_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}\left(1-e^{-n}\right)\leq f\left(\xi\right)\sum\limits_{k=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}\leq f\left(\xi\right)\left(1+\sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k} -\frac{1}{k+1} \right)\leq f\left(\xi\right)2 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} f\left(\xi\right)\sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ eine konvergente Majorante und somit konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_n \end{eqnarray*}$ absolut.

Richtig? smile

smile

04.10.2015, 21:45

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Grundsätzlich richtig, ich hätte mich auf die Beschränktheit von f berufen
$\begin{eqnarray*} |a_n|=\left|\frac{1}{n}\int_{0}^{1} \! f(x)e^{-nx} \, dx \right| \leq \frac{1}{n} \|f\|_\infty \int_{0}^{1} \! e^{-nx} \, dx <br /> \leq \frac{1}{n^2} \|f\|_\infty (1-e^{-n}) \leq \frac{1}{n^2} \|f\|_\infty \end{eqnarray*}$

Deine beiden letzten Abschätzungen sind richtig. Vermutlich habt ihr die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum 1/k^2 \end{eqnarray*}$ schon mal gezeigt, dann sind diese Abschätzungen verzichtbar.

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04.10.2015, 22:15

Kaffeevernichter

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Die Notation $\begin{eqnarray*} ||f||_{\infty } \end{eqnarray*}$ ist mir leider nicht geläufig.
Ich würde mich sehr über eine kleiner Erläuterung oder einen Link zu einer Erklärung freuen. smile

smile

04.10.2015, 22:20

URL

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$\begin{eqnarray*} ||f||_{\infty }=\sup\{|f(x)|:x\in D_f\} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ der Definitionsbereich von f ist, heißt Supremumsnorm von f. Hier ist das Supremum sogar ein Maximum (warum?)

05.10.2015, 11:20

Kaffeevernichter

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Zitat:

Original von URL
$\begin{eqnarray*} ||f||_{\infty }=\sup\{|f(x)|:x\in D_f\} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ der Definitionsbereich von f ist, heißt Supremumsnorm von f. Hier ist das Supremum sogar ein Maximum (warum?)

Ich habe leider keine Ahnung. unglücklich

unglücklich

07.10.2015, 09:25

Kaffeevernichter

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URL (oder irgendjeamd anders) wärst Du bitte so nett mir zu erklären wieso das Supremum in diesem Fall ein Maximum ist. smile

smile

07.10.2015, 09:27

bijektion

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Du weißt doch, dass $\begin{eqnarray*} f\in \mathcal{C}^0([0,1]) \end{eqnarray*}$ .

07.10.2015, 09:28

DieLösung

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Ein Supremum wird zum Maximum, wenn es in der betrachteten Menge liegt. So ist 1 für das Intervall (0,1) ein Supremum, für (0,1] hingegen ein Maximum.

07.10.2015, 09:55

Kaffeevernichter

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Die Supremumsnorm liefert doch den größten Wert den $\begin{eqnarray*} f\left(x\right) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ liefert. Wir wissen ja aber nicht was dieser Wert is, wir wissen nur, dass er irgendwo in $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ angenommen wird.
Ich verstehe nicht ganz wieso ihr vom Definitionsbreich redet? Hammer

Hammer

07.10.2015, 09:58

bijektion

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Weil die Supremumsnorm so definiert ist, du bildest die Menge alle Werte, die $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ annimmt und davon das Supremum. Hier ist $\begin{eqnarray*} D_f=[0,1] \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ kompakt und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{C}^0 \end{eqnarray*}$ .

07.10.2015, 10:22

DieLösung

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Stetige Abbildungen bilden kompakte Mengen auf kompakte Mengen ab. In diesem Fall heißt das, dass auch der Wertebereich von f ein abgeschlossenes Intervall sein muss, d.h. nicht beliebig große Werte angenommen werden können.

Mein Beispiel war vielleicht unglücklich gewählt, ich hätte auch das Intervall (2,3) mit 3 anstatt 1 nehmen können.

07.10.2015, 10:37

bijektion

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Zitat:

In diesem Fall heißt das, dass auch der Wertebereich von f ein abgeschlossenes Intervall sein muss, d.h. nicht beliebig große Werte angenommen werden können.

Die Folgerung stimmt nicht, $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist auch abgeschlossen.

Was das Beispiel mit der Frage verbindet, erschließt sich mir nicht wirklich.

07.10.2015, 10:43

DieLösung

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Zitat:

Original von bijektion

Zitat:

In diesem Fall heißt das, dass auch der Wertebereich von f ein abgeschlossenes Intervall sein muss, d.h. nicht beliebig große Werte angenommen werden können.

Die Folgerung stimmt nicht, $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist auch abgeschlossen.

Was das Beispiel mit der Frage verbindet, erschließt sich mir nicht wirklich.

Ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ denn auch kompakt?

Das Beispiel diente zur Veranschaulichung des Unterschieds zwischen Supremum und Maximum.

07.10.2015, 10:44

bijektion

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Nein, $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist nicht kompakt, denn Kompaktheit braucht mehr als Abgeschlossenheit.

07.10.2015, 10:54

DieLösung

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Ah, jetzt. Stimmt, es muss eine kompakte Menge, also z.B. ein abgeschlossenes Intervall der Form $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sein. Vermutlich sind auch beschränkte Vereinigungen abgeschlossener Intervalle zulässig. So besser? Der wesentliche Punkt, auf den ich hinaus wollte, ist, dass der Wertebereich beschränkt ist.

07.10.2015, 11:06

bijektion

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In $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ sind kompakte Mengen gerade alle Mengen, die abgeschlossen und beschränkt sind. Ich denke aber nicht, dass Kaffevernichters Problem bei der Definition von Kompaktheit lag.

07.10.2015, 11:08

Kaffeevernichter

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Also wollte URL mit seiner Frage darauf hinaus, dass die Supremumsnorm von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ auch gleich dem Maximum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ ist

Zur Erinnerung:

Zitat:

Original von URL
$\begin{eqnarray*} ||f||_{\infty }=\sup\{|f(x)|:x\in D_f\} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ der Definitionsbereich von f ist, heißt Supremumsnorm von f. Hier ist das Supremum sogar ein Maximum (warum?)

07.10.2015, 11:10

bijektion

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URLs Frage nach dem warum wird dadurch beantwortet, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen Minimum und Maximum annehmen.

07.10.2015, 12:09

Kaffeevernichter

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Zitat:

Original von bijektion
URLs Frage nach dem warum wird dadurch beantwortet, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen Minimum und Maximum annehmen.

Das ist der Satz von Weierstraß wenn ich nicht irre?

07.10.2015, 12:12

bijektion

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Ja, bzw. öfter auch als Satz von Minimum und Maximum bekannt.

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