Vektoren - Skalar- und Kreuzprodukt

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newbie001 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren - Skalar- und Kreuzprodukt
Hey MB-Community!

Ich habe Fragen zu den Vektoren. In der Physik werden ja oft Vektoren gebraucht, um besetimmte Vorgänge einfach darzustellen.
Z.B. kann ein Vektor im Raum eine Geschwindigkeit eines Vogels darstellen, ein zweiter Vektor selben Ursprungs könnte man für die Windgeschwindigkeit definieren etc. (Der Betrag bzw. die Länge des Vektors gibt an, wie hoch die Geschwindigkeit ist)

Die Rechenregeln sind eigentlich sehr einfach, doch das was mich zum Grübeln bringt ist, warum man es genauso macht.

1. Ein Skalarprodukt kommt doch folgendermaßen zustande:
- Warum wird gerade so gerechnet und nicht so wie beim addieren und subtrahieren(Komponentenweise ohne bilden der Summe)?
- Und ist das Skalarprodukt bei zueinander senkrecht(Zwischenwinkel = 90°) stehenden Vektoren = 0?

Ok zum letzteren könnte man sagen, weil ist, aufgrund der 90°.
Aber mir ist hier nicht klar, was mit diesem Wert anzufangen ist bzw. warum diese Formel gerade das Skalarprodukt repräsentiert.

2. Das Kreuzprodukt: . Hier bekommt man nämlich wieder einen neuen Vektor, der genau senkrecht auf und steht und der Betrag dieses Vektors ist nicht die Länge, sondern die Fläche des Parallelogrammes von Vektor a und b.
- Warum ist der Betrag nun eine Fläche und was genau fängt man mit dem Kreuzprodukt bzw. dem Betrag davon an?

Gruß
newbie
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Fragen betreffen elementare Definitionen bzw. Zusammenhänge, zu deren Erklärung man weiter ausholen müsste.
Du könntest also zunächst einmal die Grundlagen recherchieren.
Im Prinzip hilft es, die Vektoren in den Einheitsvektoren (e1, e2, e3) des Koordinatensystemes umzuschreiben und darauf die Definitionen anzuwenden.
Bei der "Multiplikation" (es besteht ein Unterschied zwischen skalarer und vektorieller Multiplikation) sind gegebenenfalls Kommutativ- und Distributivgesetz (KG und DG) zu beachten.

Beispielsweise ist dann




---------------------------------------------------

Bei (1) mit gilt definitionsgemäß für die Einheitsvektoren:



Hier gelten KG und DG und dann auch z.B.



---------------------------------

Bei (2) mit gilt definitionsgemäß für die Einheitsvektoren:



Zu beachten ist, dass definitionsgemäß die Orientierung des Produktvektors dem Koordinatensystem folgt, also dass der Produktvektor mit den gegebenen Vektoren ein Rechtssystem bildet, wenn das Koordinatensystem ebenfalls ein Rechtssystem ist.

Hier gilt das Distributivgesetz ebenfalls, aber das Kommutativgesetz NICHT, denn z.B. ist und dann auch z.B.



---------------------------------

Damit ist es dann auch in R2 und R3 nicht mehr weit zu



und



Damit ist der Betrag des Vektorproduktes gleich dem Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogrammes.

mY+
 
 
newbie001 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ok danke, aber was meinst du mit R1 und R2?

Vielleicht hilft ein Beispiel:
Ich solle hier mit Hilfe des Skalarproduktes zeigen, dass die Vektoren und senkrecht aufeinander stehen(Satz von Thales). Dann soll ich zeigen, wie der Satz des Pythagoras darauß folgt.

Erstmal nur zum ersten Teil:
1. In der Skizze ist doch ein Fehler, gehört da nicht statt geschrieben?

2. Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen, dann ist doch
Richtig?

Wars das nun? Ist der erste Teil fertig? Kann man das "zeigen" nennen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe NICHT R1 und R2 geschrieben, sondern R2 und R3, das ist der 2- bzw. 3-dimensionale Raum bzw. .
-----
In der Skizze ist kein Fehler, beachte die Orientierung der Vektoren!
Der Vektor ist der Differenzvektor ("End- minus Anfangspunkt"), er zeigt von A nach C! Die Orientierung von wäre umgekehrt.
Du kannst aber trotzdem damit rechnen, der Unterschied liegt nur im Vorzeichen und für das Ergebnis 0 spielt dieses keine Rolle.

Das, was du jetzt gemacht hast, ist natürlich kein Beweis, denn du sollst erst zeigen, dass der Winkel ein rechter Winkel ist, nicht von Vornherein annehmen!

Somit ist das Skalarprodukt auszuführen und zu zeigen, dass dieses Nulll ist.
Berechne also , verwende das Distributivgesetz und die Tatsache, dass (sh. Skizze!) und auch gilt:

mY+
newbie001 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, danke.

Wenn ich das alles anwende, komme ich auf folgende Gleichung:


Um den Winkel einzubringen macht man folgendes:


Ich kann zwar auf umformen, jedoch hab ich aber keine Komponenten des Vektors gegeben.

Stimmt das Umgeformte so?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von newbie001
...
Wenn ich das alles anwende, komme ich auf folgende Gleichung:

...
Stimmt das Umgeformte so?

Nein. Das würde doch implizieren, dass der Vektor gleich dem Nullvektor wäre.
Du solltest dazu eine binomische Formel [ (a+b)*(a-b) = .. ] im Kopf haben (oder eben einfach ausmultiplizieren), und wie schon gesagt gilt auch hier das Distributivgesetz (Ausmultiplizieren wie in der Algebra) ...

Und nochmals: Du sollst NICHT von Vornherein Null setzen, DAS muss sich mittels des Beweises ergeben!
Wie du dann genau vorzugehen hast, steht in meinem vorigen Beitrag, mache dies einmal und frage bei Unklarheiten nochmals nach.

mY+
newbie001 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh okay, danke. Hatte einen Vorzeichenfehler.

Hier nochmal:

Und Vektor a hat doch dieselbe Länge wie Vektor b, kommt dann oben Null raus, da es ja dieselben Vektoren sind?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind NICHT dieselben Vektoren (die stehen doch aufeinander normal), aber ihre Beträge sind gleich, ja.
Du musst deinen Beitrag also noch ergänzen:



Und erst JETZT hast du damit die Orthogonalität der beiden Vektoren gezeigt.

mY+
newbie001 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja okay, ich hab das zu ungenau formuliert.

Stimmt folgendes?


Also wenn da dasselbe Ergebnis rauskommt, dann verstehe ich das oben gerechnete.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von newbie001
Stimmt folgendes?

Das stimmt nicht. unglücklich
newbie001 Auf diesen Beitrag antworten »

Dacht ich mir.



Warum darf ich dann da einfach den Betrag von den Vektoren ausrechne und dann ist das Ergebnis Null, um zu sagen, dass die Vektoren aufrecht zueinander stehen?
newbie001 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe da z.B. keine Ähnlichkeit zu folgender Formel, die aussagt, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, wenn das Skalarprodukt Null ist:


Müsste es nicht eine Ähnlichkeit haben?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Beide Formeln



und



besagen natürlich das Gleiche, auch wenn es nicht gleich offenkundig ist.
Um die eine in die andere überzuführen, bedarf es der schon im ersten Post kurz umrissenen Gesetzmäßigkeiten bzw. die Kenntnis derselben.

Das Schöne daran ist, dass die eine oder andere Beziehung verwenden ist, je nachdem, wie die Vektoren gegeben sind.
Beim Beweis wird man sich mit (2) schwer tun, da die Komponenten der Vektoren nicht zu berechnen sind, dagegen bieten sich die direkte Berechnung des Skalarproduktes und der (gleiche) Betrag der Vektoren für die weitere Rechnung an.
Auf diesem Weg erhält man für das skalare Produkt sofort 0, woraus sich auf die Orthogonalität schließen lässt.

Um dies für dich verständlicher zu machen, kannst du auch schreiben



woraus folgt



mY+
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