Dimension der Vereinigungsmenge von Vektoren

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05.10.2015, 19:59	Gast01	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension der Vereinigungsmenge von Vektoren Meine Frage: Hallo :-) mir geht es um die Berechnung von: 1. $\begin{eqnarray} dim (S) \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} dim (T) \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} dim (S + T) \end{eqnarray}$ S = Span (v1,v2,v3) T = Span (w1,w2,w3) v1=(10,-8,2,2) v2=(2,0,4,-2) v3=(4,-5,-5,5) w1= (2,3,6,19) w2= (7,0,0,1) w3= (4,6,12,38) Meine Ideen: zu 1 & 2.: Hier muss ich ja für S / T jeweils den Rang der Matrix berechnen, richtig? Nach dem Grußverfahren komme ich dann auf die Rangwerte: dim (S) = 3 dim (T) = 2 stimmt das soweit? zu 3. : hier habe ich die Matrizen S+T zusammengerechnet und davon die Dimension berechnet: also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 10 & -8 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 4 & -2 \\ 4 & -5 & -5 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 & 6 & 19 \\ 7 & 0 & 0 &1 \\ 4 & 6 & 12 & 38 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -5 & 8 & 21 \\9 & 0 & 4 & -1 \\ 8 & 1 & 7 & 43 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die Dimension dieser Matrix wäre dann wieder nach dem Grußverfahren: 3 kann man beim 3. Teil so an die Sache rangehen? Habe zwar schon im Internet etwas über die Dimensionsformel : https://upload.wikimedia.org/math/f/b/d/fbd6f1400aba48151e1fc1ed538c085b.png gehört, aber ich wüsste nicht konkret wie man die Dimension der Durchschnittsmenge berechnet Freue mich über verständliche (!) Antworten :-)
06.10.2015, 08:40	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension der Vereinigungsmenge von Vektoren Nein, für die Teilaufgabe 3 kannst du nicht einfach die Matrizen addieren. Zunächst vereinigst du die beiden Basen von S und T und erhälst ein neues Erzeugendensystem (noch keine Basis), in dem alle Vektoren aus S und T liegen. Dieses neue Erzeugendensystem musst du nun auf lineare unabhängigkeit prüfen, und das kannst du wieder mit Gauss machen. Wenn du S und T vereinigst, welches Erzeugendensystem erhälst du?
06.10.2015, 17:12	Gast01	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, okay, das klingt nun ziemlich kompliziert ich habe zwar schon mal von Basen gehört, bin mir aber nicht ganz sicher ob ich das nun richtig verstehe: also die Basis von S ist ja v1,v2,v3 die Basis von T hingegen w1,w2 oder w2,w3 korrekt? Zumindest entspricht dies für mich die linear unabhängigen Teilmengen. Wie jedoch Vereinige ich diese Basen nun? Mein Ansatz sieht irgendwie seltsam aus: $\begin{eqnarray} S+T= ( \begin{pmatrix} 10 \\ -8 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4 \\-5 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \\ 19 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ Bitte um eine Antwort :-)
06.10.2015, 17:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Igrizu scheint nicht da zu sein ... dann antworte ich mal. In einem 4-dimensionalen Raum kann es keine 5 linear unabhängigen Vektoren geben. Igrizu hat vorgeschlagen, den Gauß-Algorithmus anzuwenden, mach das.
06.10.2015, 18:26	Gast01	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, dass du dich dann gemeldet hast Ja, das wollte ich danach machen, weil ich nicht wusste ob meine Vereinigung der Basen so korrekt ist, aber scheint wohl so. Nach Gauß habe ich nun den 4 linear unabhängige Teilmengen raus, sprich den Rang 4 für (S+T) ist damit die dim(S+T)= 4 und wenn ich nun die $\begin{eqnarray} dim(S\cap T) \end{eqnarray}$ haben möchte, ist dies dann: dim(S) + dim(T)- dim(S+T) = 3+2-4= 1 Ist das soweit richtig?
06.10.2015, 19:12	Gast01	Auf diesen Beitrag antworten »
Achse und falls das richtig sein sollte, dürfte ich dir noch ne Frage stellen zum Thema passend? LG!
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06.10.2015, 19:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Vereinigung von Basen ist eine Menge, das schreibt sich mit geschweiften Klammern $\begin{eqnarray} \{ ... \} \end{eqnarray}$ . Wenn Du Gauß richtig anwendest, kommen nicht "4 linear unabhängige Teilmengen" , sondern 4 linear unabhängige Vektoren heraus. Ich nehme mal an, es geht um einen Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ (das hast Du uns bisher nicht verraten). Wenn dem so ist, stimmen die Dimensionen des Summenraums $\begin{eqnarray} S+T \end{eqnarray}$ und des Durchschnittsraums $\begin{eqnarray} S\cap T \end{eqnarray}$ nach der Dimensionsformel. Frage, und es wird Dir geantwortet.
06.10.2015, 19:22	Gast01	Auf diesen Beitrag antworten »
Großartig Danke auch für deine formalen Verbesserungen, sind später sonst nur unnötige Punkte die man in Klausuren verliert... Die andere Frage baut hierauf auf: v1=(1,0,0,1), v2=(-2,-1,1,1), v3=(-3,-2,2,3) S=Span(v1,v2,v3) Die Basis von S ist zum Beispiel (v1,v2) (also ist der Rang2) sprich $\begin{eqnarray} Basis(S)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Aufgabe dazu lautet: "Ergänze die Basis von S zu einer Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ " wie gehe ich hier vor? habe leider keine Idee wie man an diesen Typ Aufgabe rangehen muss
06.10.2015, 19:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Besser: schreibe Basis nicht als Matrix, sondern als Menge von Vektoren. " $\begin{eqnarray} S=span(\{v1,v2\}) \end{eqnarray}$ " ist gleichbedeutend mit " $\begin{eqnarray} \{v1,v2\} \end{eqnarray}$ ist Basis von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ " , weil $\begin{eqnarray} v1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v2 \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind. Zur Ergänzung kannst Du zwei Standardbasisvektoren ausprobieren. Zum Beispiel ergibt Gauß, dass der 2. und 3. Standardvektor offensichtlich $\begin{eqnarray} \{v1,v2\} \end{eqnarray}$ zu einer Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ ergänzt (2 andere Standardvektoren auch, wenn du nicht gerade den 1. und 4. wählst). Der Basisergänzungssatz lehrt, dass es immer möglich ist, die Basis eines Untervektorraums zu einer Basis des Vektorraums zu ergänzen, praktisch wählt man dann immer möglichst einfache Vektoren, und da drängen sich dünn besetzte Vektoren auf.
06.10.2015, 20:07	Gast01	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich dann nicht einfach 2 inverse Vektoren ergänzen? sprich ich würde die Vektoren: (-1,0,0,-1) und (2,1,-1,-1) wählen?
06.10.2015, 22:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
nein. v und -v sind l.a.
06.10.2015, 22:45	Gast01	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also einfach ausgedrückt: ich benötige 2 linear unabhängige Vektoren wäre dann zB. (1,0,0,0) und (0,1,0,0) eine Möglichkeit? Diese Vektoren sind nach meiner Rechnung alle Linear abhängig bzw. wäre dann der Rang 4
07.10.2015, 09:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, man sieht sofort, dass sie die ersten beiden Koeffizienten der Basisvektoren von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ annullieren, und die letzten beiden Koeffizienten dieser Vektoren bleiben erhalten, und alle 4 Vektoren sind l.u., also eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ . Du meinst die 4 Vektoren sind linear unabhängig ! Du hast aus Versehen geschrieben, sie seien linear abhängig.

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