Zeige Gleichung aus Summe und Binomialkoeffizient

06.10.2015, 00:19	Nicht-hermitesch	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige Gleichung aus Summe und Binomialkoeffizient Meine Frage: Hallo zusammen, ich stehe vor einer Aufgabe, welche ich bislang noch nicht zu lösen vermochte: Es gilt zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{j=q+1}^k \frac{(j-1)\text{!}}{(j-(q+1))\text{!}} = \frac{k \text{!}}{(q+1) (k-(q+1))\text{!}} \end{eqnarray}$ . Dabei bezieht sich die Fakultät auf der rechten Seite im Nenner nur auf die hintere Klammer (also nicht auf (q+1)). Meine Ideen: Zunächst könnte man natürlich q+1 durch u substituieren, oder aber j-1 durch durch v. Ich wähle Letzteres und erhalte für die Linke Seite: $\begin{eqnarray} \sum_{v=q}^{k-1} \frac{v\text{!}}{(v-q)\text{!}} \end{eqnarray}$ Das wiederum kann man darstellen als: $\begin{eqnarray} \sum_{a=1}^{k-q} \prod_{b=1}^{q} (a+b-1) \end{eqnarray}$ Eventuell hat an der Stelle schon jemand eine Idee wie es schnell zum Ziel geht?? Falls nicht, kann man sich noch überlegen, dass dies äquivalent ist zu: $\begin{eqnarray} q \text{!} + \sum_a^{k-q}\prod_b^{a-1} \frac{a-2+q+1-b}{b} \end{eqnarray}$ Dabei kann man die Darstellung des Binomialkoeffizienten erkennen und schreiben: $\begin{eqnarray} q \text{!} + \sum_a^{k-q} \frac{(a-2+q)\text{!}}{(a-1)\text{!} (q-1)\text{!}} \end{eqnarray}$ Nun bin ich mit meinem Latein leider auch am Ende und hoffe aus fruchtbare Anregungen. Danke im Voraus
06.10.2015, 00:26	Indy	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion?
06.10.2015, 01:01	DieLösung	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, kann man die Brüche in der Summe vielleicht alle auf den gleichen Nenner bringen wie den rechten Bruch? k ist ja der höchste Summationswert.
06.10.2015, 02:10	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein klarer Fall fuer den Finite Calculus; das ist so einfach wie Potenzen integrieren: $\begin{eqnarray} \sum_{v=q}^{k-1}v^{\underline{q}}=\sum\nolimits_q^k x^{\underline{q}}\,\delta x=\left[\frac{x^{\underline{q+1}}}{q+1}\right]_q^k=\frac{k^{\underline{q+1}}}{q+1} \end{eqnarray}$ . Fallende Potenzen gehen dabei so: $\begin{eqnarray} x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\ldots(x-n+1) \end{eqnarray}$ .
06.10.2015, 08:45	Nicht-hermitesch	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für alle Antworten, habe mich sehr gefreut

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