Stetigkeit von ln(|.....|)

06.10.2015, 10:55

Stiffi94^^

Stetigkeit von ln(|.....|)

Meine Frage:
Hallo, Ich stehe vor folgendem Problem:
Ich soll die Stetigkeit der Funktion $\begin{eqnarray*} ln(\frac{|x|+1}{x^2}) \end{eqnarray*}$ bei einer Kurvendskussion überprüfen.
Der Definitionsbereich ist meiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash {0} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Überlegung ist folgende:
Ich weiß, dass die Funktion gerade/symmetrisch ist, deshalb dachte Ich mir, mann muss nur den $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} f(x) \end{eqnarray*}$ bilden und kann das Ergebniss aufgrund der Symmetrie auch für den $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0-} f(x) \end{eqnarray*}$ verwenden.
Ist diese Überlegung richtig?
Oder kann ich generell sagen, dass meine Funktion eine verknüpfung einer natürlichen Funktion mit einer rationalen Funktion bzw. dem $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ und daher auf dem Definitionsbereich stetig?

LaTeX-End-Tag korrigiert (/latex statt \latex). Steffen

06.10.2015, 11:04

Stiffi94^^

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RE: Stetigkeit von ln(|.....|)

Zitat:

LaTeX-End-Tag korrigiert (/latex statt \latex). Steffen

Danke, wollte Ich auch grade korrigieren... Freude

06.10.2015, 11:07

klarsoweit

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RE: Stetigkeit von ln(|.....|)

Zitat:

Original von Stiffi94^^
Ich weiß, dass die Funktion gerade/symmetrisch ist, deshalb dachte Ich mir, mann muss nur den $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} f(x) \end{eqnarray*}$ bilden und kann das Ergebniss aufgrund der Symmetrie auch für den $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0-} f(x) \end{eqnarray*}$ verwenden.

Und was willst du mit dem Grenzwert (wenn er denn existiert) veranstalten?

Zitat:

Original von Stiffi94^^
Oder kann ich generell sagen, dass meine Funktion eine verknüpfung einer natürlichen Funktion mit einer rationalen Funktion bzw. dem $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ und daher auf dem Definitionsbereich stetig?

Das geht in die richtige Richtung. Das Argument von dem ln ist auf dem Definitionsbereich eine stetige Funktion, da es selbst wiederum eine Zusammensetzung aus stetigen Funktionen ist. Der Wertebereich des Arguments sind die positiven reellen Zahlen, auf dem der ln selber stetig ist. Mithin ist auch die Gesamtfunktion stetig. smile

06.10.2015, 11:30

Stiffi94^^

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RE: Stetigkeit von ln(|.....|)

Zitat:

Original von klarsoweit
Und was willst du mit dem Grenzwert (wenn er denn existiert) veranstalten?

Naja wenn der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ beidseitig existiert und gleich $\begin{eqnarray*} f(x=0) \end{eqnarray*}$ ist, dann ist die Funktion laut meinem Skript in x=0 stetig.

Zitat:

Original von klarsoweit
Das geht in die richtige Richtung. Das Argument von dem ln ist auf dem Definitionsbereich eine stetige Funktion, da es selbst wiederum eine Zusammensetzung aus stetigen Funktionen ist. Der Wertebereich des Arguments sind die positiven reellen Zahlen, auf dem der ln selber stetig ist. Mithin ist auch die Gesamtfunktion stetig. smile

Das ergibt Sinn, Danke!

Jetzt hab ich aber noch eine weitere Frage bezüglich der Differenzierbarkeit (=Diffbarkeit Augenzwinkern

)
Ich will auch noch die diffbarkeit an $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ überprüfen.
Das will ich mit ungefähr der selben Methode wie bei der Stetigkeit beweisen und zwar:
Ich bilde den beidseitigen Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm 0} f'(x) \end{eqnarray*}$ .
Denn wenn dieser existiert und von beiden Seiten den selben Wert annimmt, ist die Funktion bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ diffbar.

Und hier kommt wieder meine Überlegung mit der Symmetrie ins spiel:
Kann Ich mir theoretisch die Ableitung für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ersparen indem Ich $\begin{eqnarray*} f'(x)~ \forall x\geq0 \end{eqnarray*}$ bilde und das Ergebinss des $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} f'(x) \end{eqnarray*}$ dann aufgrund der Symmetrie einfach übernehme?
Das würde dann aber bedeuten, dass die Funktion in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ diffbar ist, sie sieht aber nicht sehr dannach aus ? verwirrt

06.10.2015, 11:57

klarsoweit

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RE: Stetigkeit von ln(|.....|)

Zitat:

Original von Stiffi94^^
Naja wenn der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ beidseitig existiert und gleich $\begin{eqnarray*} f(x=0) \end{eqnarray*}$ ist, dann ist die Funktion laut meinem Skript in x=0 stetig.

Ist ja nett. Aber hast du den Funktionswert f(0) ?

Zitat:

Original von Stiffi94^^
Ich will auch noch die diffbarkeit an $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ überprüfen.

Wie soll das gehen, wenn die Funktion in x=0 nicht mal definiert ist? verwirrt

06.10.2015, 12:04

Stiffi94^^

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RE: Stetigkeit von ln(|.....|)

Zitat:

Original von klarsoweit
Ist ja nett. Aber hast du den Funktionswert f(0) ?

Ääähhm, nein. Hammer

Zitat:

Original von klarsoweit
Wie soll das gehen, wenn die Funktion in x=0 nicht mal definiert ist? verwirrt

Also muss ich die differenzierbarkeit nur auf dem Definitionsbereich überprüfen?
Und reicht es, wenn ich bei der Klausur dann hinschreibe:

Stetigkeit:
Funktion stetig auf dem Definitionsbereich, da Verknüpfung von stetigen Funktionen.
Differenzierbarkeit
Funktion differenzierbar auf dem Definitionsbereich, da Verknüpfung von differenzierbaren Funktionen.

06.10.2015, 12:32

steviehawk

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RE: Stetigkeit von ln(|.....|)
nur wenn ihr in der Vorlesung den entsprechenden Satz bewiesen habt Augenzwinkern

06.10.2015, 12:48

Stiffi94^^

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RE: Stetigkeit von ln(|.....|)

Zitat:

Original von steviehawk
nur wenn ihr in der Vorlesung den entsprechenden Satz bewiesen habt Augenzwinkern

Ja haben wir (:
Vielen Dank für die Hilfe!!

06.10.2015, 12:59

steviehawk

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RE: Stetigkeit von ln(|.....|)
wenn du aber mehr siehst, zum Beispiel wie es klarsoweit geschrieben hat, also warum kann das Argument des $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ hier nicht Null werden? Dann würde ich das dazu schreiben..

Aussagen der Form, die Funktion ist stetig als Zusammensetzung stetiger Funktionen macht oft den Anschein, als würde man eigenes Unwissen kaschieren. Insbesondere wenn die komplette Aufgabe nur darin besteht. Oftmals hat man ja noch einen Funktionswert für die "kritische" Stelle zur Verfügung und man muss wirklich Grenzweltbetrachtungen durchführen. Dann kann man ausserhalb der "kritischen" Stelle gut damit argumentieren, dass die Funktion stetig ist als Zusammensetzung stetiger Funktionen, es steckt ja noch genug Arbeit im Rest. Dieser Rest an Arbeit ist bei deiner Aufgabe nicht vorhanden, daher würde ich bisschen mehr Arbeit in den Teil mit der Zusammensetzung investieren. Aber Korrektur von Aufgaben ist ja auch so ne Sache. Dem einem reicht ein kurzer Satz, der andere will ne ausführliche Begründung Big Laugh

06.10.2015, 13:20

klarsoweit

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RE: Stetigkeit von ln(|.....|)

Zitat:

Original von Stiffi94^^
Also muss ich die differenzierbarkeit nur auf dem Definitionsbereich überprüfen?

Ja. Etwas anderes ergibt keinen Sinn. Augenzwinkern

06.10.2015, 14:39

Leopold

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RE: Stetigkeit von ln(|.....|)

Zitat:

Original von Stiffi94^^

Differenzierbarkeit
Funktion differenzierbar auf dem Definitionsbereich, da Verknüpfung von differenzierbaren Funktionen.

Vielleicht sollte man noch erwähnen, daß die Funktion

$\begin{align*} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \, , \ \ x \mapsto |x| \end{align*}$

nicht überall differenzierbar ist, die Funktion

$\begin{align*} \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \to \mathbb{R} \, , \ \ x \mapsto |x| \end{align*}$

dagegen schon. Nur um zu dokumentieren, daß man daran gedacht hat ...

06.10.2015, 15:03

Stiffi94^^

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RE: Stetigkeit von ln(|.....|)

Zitat:

Original von steviehawk
wenn du aber mehr siehst, zum Beispiel wie es klarsoweit geschrieben hat, also warum kann das Argument des $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ hier nicht Null werden? Dann würde ich das dazu schreiben..

Aussagen der Form, die Funktion ist stetig als Zusammensetzung stetiger Funktionen macht oft den Anschein, als würde man eigenes Unwissen kaschieren. Insbesondere wenn die komplette Aufgabe nur darin besteht. Oftmals hat man ja noch einen Funktionswert für die "kritische" Stelle zur Verfügung und man muss wirklich Grenzweltbetrachtungen durchführen. Dann kann man ausserhalb der "kritischen" Stelle gut damit argumentieren, dass die Funktion stetig ist als Zusammensetzung stetiger Funktionen, es steckt ja noch genug Arbeit im Rest. Dieser Rest an Arbeit ist bei deiner Aufgabe nicht vorhanden, daher würde ich bisschen mehr Arbeit in den Teil mit der Zusammensetzung investieren. Aber Korrektur von Aufgaben ist ja auch so ne Sache. Dem einem reicht ein kurzer Satz, der andere will ne ausführliche Begründung Big Laugh

Ja, Ich denke ich hätte das ganze wenn so etwas zur klausur käme natürlich ausführlicher beschrieben.
Und wenn sowas kommt, dann sowieso im Zuge einer Umfangreicheren Kurvendiskussion. Wenn man genau weiß warum etwas so ist, warum dann den Prüfer einen Grund geben daran zu zweifeln...
Aber danke nochmal für den Hinweis! (:

Zitat:

Original von Leopold
Vielleicht sollte man noch erwähnen, daß die Funktion . . .

Das ist auch noch ein guter Hinweis, danke Leopold!!

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