Beweis für Summenformel der ersten z-1 Quadratzahlen |
| 06.10.2015, 17:51 | ghetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beweis für Summenformel der ersten z-1 Quadratzahlen
Ich soll zur nächsten Mathestunde einen Beweis dafür liefern, dass folgendes gilt: Wenn ich nun den Fakt, dass gilt, als Axiom ansehe, komme ich natürlich durch einfaches Einsetzen von (n-1) für jedes n auf oben genannten Beweis. Aber dass das als Beweis reicht, bezweifle ich erst einmal, deshalb würde ich euch bitten, mir ein paar Tipps zu geben, wie ich die letztgenannte Aussage herleiten kann. Ich merk schon, dass die 11. Klasse ganz schön happig wird 
Bewiesen hab ich bisher auch kaum was, also hab ich da auch keine großartige Erfahrung 
Ich freu mich auf eure Antworten, vielen Dank und viele Grüße! |
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| 06.10.2015, 18:36 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Statt z eher n, nicht wahr ? 
Es kommt eben darauf an, ob ihr das nun schon im Unterricht bewiesen habt oder nicht. Falls ja, kannst du das mit dem Einsetzen in der Tat machen - ist zwar wie du sagtest, kein große Herausforderung mehr, aber das war es dann schon. Falls nicht, ist die Frage, ob ihr z.B. schon das Prinzip der vollständigen Induktion kennt. |
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| 06.10.2015, 20:42 | ghetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Natürlich meine ich n
Nein, wir haben da noch gar nichts mit gemacht, meine Lehrerin meinte, ich würde mich langweilen und soll zum Freitag mal nen Beweis dafür bringen. Mit dem, was ich da sonst noch geschrieben habe, haben wir auch noch nix gemacht xD Von vollständiger Induktion hab ich schon was gehört, aber so wirklich kann ich da nichts mit anfangen. Wir haben gerade erst die Ableitungen von e-Funktionen abgeschlossen und heute mit dem Integral angefangen... |
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| 06.10.2015, 21:30 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, für Ober- oder Untersummen kann diese Formel in der Tat nützlich sein - seid ihr schon beim Aufsummieren der Rechteckflächen ober- oder unterhalb des Graphen einer Funktion ? Ich weiß jetzt nicht, ob du dir mal eben so vollständige Induktion beibringen sollst (eine immerhin sehr mächtige Beweistechnik). Andererseits kannst du ja mal nach "Summe von Quadratzahlen" googeln. Da findest du z.B. auch sowas hier zur Herleitung: http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Versc...adratzahlen.pdf |
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| 06.10.2015, 22:18 | ghetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, wir sind mit diesen Rechtecksflächen eingestiegen in die Integralrechnung. Das Problem ist ja, dass die ganze Klasse das verstehen soll, was ich da erkläre, und nicht nur ich
Ich kann denen nämlich wahrscheinlich nicht in 10 Minuten, oder wie lange ich auch immer Zeit habe, die vollständige Induktion erklären. Den Link da hatte ich auch schon gefunden, nur steig ich da selbst nicht so ganz durch
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| 06.10.2015, 22:27 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Ansatz in dem Link geht in Richtung Steckbriefaufgabe. Die Summe s(n) der ersten n Quadratzahlen wird als ganzrationale Funktion aufgefasst. Offenbar gilt ja s(0)=0, da die Summe der ersten 0 Quadratenzahlen natürlich Null ist. Ebenso gilt s(1)=1, da 0²+1²=1 und s(2)=5, da 0²+1²+2²=5 und s(3)=... Freundlicherweise sieht man der rechten Seite, der zu zeigenden Formel ja bereits an, welchen Grad sie haben muss - nämlich ? Hilft das schon weiter ? |
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| 06.10.2015, 22:36 | ghetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist wohl ein Polynom dritten Grades, aber da steht dann der Ansatz, und wie man auf diesen Ansatz kommt, durchblicke ich überhaupt nicht. Dass die Formel stimmt, weiß ich ja, und wie die anzuwenden ist, auch, aber eine möglichst nachvollziehbare Herleitung, die nicht nur für mich, sondern auch für den Rest des Kurses einigermaßen leicht verständlich ist, fehlt mir da noch... |
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| 06.10.2015, 22:48 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bediene mich mal eben deiner Redensweise von letztens - nicht aus Spott, nur weil es gerade so gut passt.
Hä, sorry aber ich weiß nicht wirklich was du mir sagen willst. 
Du müsstest da schon schildern, was genau du nicht verstehst. Der Ansatz ist wirklich nur eine Steckbriefaufgabe, gesucht ist also eine ganzrationale Funktion 3. Grades, welche durch die 4 erwähnten Punkte verläuft. Wenn ihr das Thema schon mal hattet, dann ist das ein sehr simpler, für jeden deiner Klassenkameraden einleuchtender Weg. |
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| 06.10.2015, 22:59 | ghetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann frag ich mal so, wie komm ich überhaupt auf die Idee, dass ein Polynom dritten Grades meine Lösung sein könnte?
Das könnte ja auch alles andere sein, aber der Ansatz ist dann rein zufällig ein Polynom dritten Grades. Diese "rein zufälligen" Ansätze können aber ja wohl nicht so rein zufällig sein, wie sie mir manchmal erscheinen
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| 06.10.2015, 23:05 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist ja gerade die Frage, warum eine ganzrationale Funktion 3. Grades.... Durch dein "Das ist wohl ein Polynom dritten Grades..." dachte ich zunächst, es sei dir klar warum. Es hat einfach mit der zu zeigenden Gleichung zu tun:
Wenn du den Term auf der rechten Seite ausmultiplizierst... Vollende bitte mal diesen Satz, vielleicht fällt dann ja der Groschen. |
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| 06.10.2015, 23:10 | ghetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich den Term ausmultipliziere, dann hab ich wieder ein Polynom dritten Grades, ja, aber diesen Term erhalte ich ja nur, wenn ich die Funkktionsgleichung schon herausgefunden habe. Ich dachte, wir gehen erst einmal davon aus, dass wir noch gar keine Erkenntnisse über die Beschaffenheit der Formel, die wir herleiten wollen haben, denn irgendwie ist das ja kein richtiger Beweis, wenn man die Formel vorher schon kennt, und das Wissen über die fertige Formel einbringt. Irgendwie muss Herr Gauß, oder wer die Formel herausgefunden hat, ja auch drauf gekommen sein. Oder sehe ich die Technik des Beweisens, die hier verlangt wird, falsch? Oder sehe ich gerade alles falsch?
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| 06.10.2015, 23:23 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, wenn wir von einer Formel bzw. einer Gleichung zufällig schon wissen, dass sie wahr ist, umso besser. Der Schritt diese Funktion 3. Grades aufzustellen ist ja noch nicht das Ende vom Lied. Die letzten zwei Zeilen beim Link sind dann natürlich noch ausschlaggebend, dass dieser vermutete Zusammenhang auch wirklich allgemein gültig ist (und nicht nur für die ersten 3 Glieder passt). Von daher geht man da eigentlich auch, wenn du so willst, von nichts aus, vermutet etwas und prüft diese Vermutung dann am Ende durch das Bilden der Differenz s(n)-s(n-1). Wenn die Formel stimmt, dann müsste ja, wenn man von der Summe der ersten n Quadratzahlen die Summe der ersten (n-1) Quadratzahlen abzieht, auch wirklich n² übrig bleiben. |
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| 06.10.2015, 23:34 | ghetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, also ist das für einen Beweis erlaubt, dass man die Kenntnis, dass die Aussage wahr ist, mit in diesen einbringt? Na dann vielen Dank schon einmal, ich habe das soweit dann wohl verstanden, das einzige, was ich noch nicht so ganz verstanden habe, ist, wie ich von durch Umformungen dann auf die finale Formel komme... |
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| 06.10.2015, 23:46 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, aber zumindest haben wir dann eben ein "Zeige dass..." und nicht ein "Prüfe, ob...", was dann eben schon mal Arbeit abnimmt. Und zudem ist es natürlich auch angenehmer und "an die Hand nehmender", als wenn man einen einfach mit sowas wie "Leite einen Zusammenhang für die ersten n Quadratzahlen her" alleine lässt.
Ja, der Rest ist halt ein bisschen Umformen. Du weißt ja schon, wie die finale Formel aussieht. Sie liegt in faktorisierter Form vor. Du könntest also entweder bei der summierten Version ausklammern und danach auch noch den quadratischen Restterm faktorisieren. Oder - und wahrscheinlich einfacher - du kannst ja auch einfach die faktorisierte Formel ausmultiplizieren und damit bestätigen, dass das ja dasselbe ist wie die summierte Version . |
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| 06.10.2015, 23:53 | ghetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar, dann vielen Dank für die Hilfe, ich denke, ich krieg das dann hin 
Und wie Faktorisieren funktioniert, da hab ich keine Ahnung, da nehm ich einfach die letztere Möglichkeit
Also, vielen Dank und gute Nacht!
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| 06.10.2015, 23:56 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Keine Ursache. Viel Erfolg morgen. Kannst ja mal schreiben, ob dein Lehrer damit zufrieden war oder was er sich da ansonsten genau vorgestellt hatte.
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| 07.10.2015, 21:09 | ghetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So, ich habe jetzt mal meinen Beweis in Schriftform festgehalten, vielleicht willst du dir das mal kurz durchlesen, das wär sehr nett^^ Die Anhänge können hier nur lächerlich klein sein, deswegen einmal die zwei Seiten als Bilder: http://fs5.directupload.net/images/151007/go2dxfdn.jpg und http://fs5.directupload.net/images/151007/i9qxuh3k.jpg Ich muss das ja erst Freitag vorstellen, also hab ich noch ein bisschen Zeit, um mögliche Fehler zu korrigieren
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| 07.10.2015, 22:17 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sieht doch schon mal ganz gut aus. 
Statt Regression, hatte ich jetzt eigentlich an das ganz normale Lösen eines LGS mittels CAS gedacht, aber so geht es natürlich auch. Schön ist, dass du das mit den natürlichen Zahlen nochmal ausdrücklich erwähnst. Vielleicht reicht deinem Lehrer das auch schon bis dahin als Bestätigung der rechten Seite. Allerdings hast du bis dahin ja nur 5 Punkte zu Grunde gelegt ( (0|0) mit gezählt). Da wir ja schon wissen, dass der zu zeigende Zusammenhang wahr ist, wird die Formel sicher auch die Summe aller anderen Quadratzahlen wahr sein. Wüssten wir das jedoch nicht, würde bis zu diesem Punkt die Gültigkeit der Formel nur für die Summe der Quadratzahlen bis 4² bewiesen sein. Für eine allgemeine Gültigkeit für die Summe aller Quadratzahlen von 1 bis n, müsste noch dieses s(n)-s(n-1)=n² gezeigt werden. Oder salopp formuliert "Wenn ich mit meiner Formel nicht nur Glück hatte, dass das bis s(4) so passt, dann muss ja für jedes beliebige n tatsächlich immer s(n)-s(n-1)=n² gelten." Das ist aber nun nicht mehr wirklich viel, denn da musst du ja nur noch betrachten und das ist durch ausklammern von schnell gezeigt. |
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| 07.10.2015, 22:26 | ghetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir arbeiten in der Schule ja mit einem grafikfähigen Taschenrechner (TI-84 Plus), der allerdings keine CAS-Funktionen hat, das diese in den Klausuren und im Abi nicht zulässig sind und auch sonst haben wir oft in Physik und Mathe schon mit Regressionen gearbeitet. Ja, ich brauchte halt ein paar Punkte für die Regression, denn die funktioniert ja nur mit expliziten Werten
Aber gut, dann bring ich das da noch mit rein, dann ist da auch nicht mehr so viel hässlicher Freiraum auf der zweiten Seite
Ich habe nur die Befürchtung, dass das kaum jemand verstehen wird, wir sind zwar ein LK, aber sowas macht man ja eigentlich in der ganzen Schulzeit nicht :/ Na dann kann ich ja berichten, wie meine Mathelehrerin das so fand
Und vielen Dank für deine Mühen immer!
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| 07.10.2015, 22:46 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zumindest in einem LK, wo man ja insgesamt mehr Zeit hat als im GK, finde ich das gar nicht so schlecht, wenn man auch mal Dinge anspricht, die über den regulären Unterrichtsstoff etwas hinaus gehen. Zudem finde ich bei diesem Beweis jetzt auch nicht, dass da unmenschlich schwere Dinge vorkommen. Diesen Steckbriefansatz sollte eigentlich jeder nachvollziehen können (das machen in NRW Schüler zumindest mit quadratischen Funktionen auch schon in Klasse 8). Etwas mehr die Stimme erheben und ausdrücklich darauf hinweisen, würde ich, was es mit diesem s(n)-s(n-1) aus sich hat, denn genau dieser Schritt ist der Schlüssel zur Allgemeingültigkeit der Formel für alle n. An welchen Stellen genau würdest du denn vermuten, dass die Schüler überfordert sein könnten ? Gib auf jeden Fall mal Rückmeldung am Freitag oder am Wochenende, je nachdem, wann du Zeit findest.
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| 07.10.2015, 22:56 | ghetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also in Niedersachsen werden Grundkurse genauso lange unterrichtet wie Leistungskurse, jeweils 4 Stunden in der Woche (bei uns nur Doppelstunden, also 2x in der Woche). Unmenschlich ist das sicher nicht, aber bei uns sind so einige im Kurs, bei denen ich mich frage, warum die einen LK wählen, wenn die nicht mal wissen, was ne Funktion ist (soll jetzt nicht arrogant klingen, ich finde das nur wenig sinnvoll). Steckbriefaufgaben hatten wir noch nie, das Summenzeichen kennt wahrscheinlich auch kaum jemand, viele sind schon mit Ausklammern hoffnungslos überfordert und ich gehe sogar davon aus, dass der Begriff "natürliche Zahl" den wenigsten was sagen wird
Vielleicht ist das auch einfach eine komplett andere Art von Aufgaben, ich saß da auch einige Stunden dran, weil man sowas einfach nicht gewohnt ist, das wird jetzt alles ein bisschen abstrakter. Ich binde das auf jeden Fall mit ein, vielleicht kann man die Präsentation ja auch etwas interaktiv gestalten, weil das ja todlangweilig ist, wenn ich das nur an die Tafel schreibe
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| 07.10.2015, 23:12 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, vielleicht können ja zumindest ein paar Mitschüler etwas folgen.
Und selbst wenn nicht, deiner Lehrerin wird es bestimmt gefallen (und sich damit positiv auf deine SOMI-Note auswirken) und für dich selbst, ist es bestimmt auch eine gute Übung. Viel Erfolg in jedem Fall.
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| 07.10.2015, 23:22 | ghetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das würd mich zumindest freuen, und wenn Fragen da sind, kann ich die hoffentlich beantworten, aber das krieg ich meistens hin.^^ Musste erst mal googlen, was ne "SOMI-Note ist"
Vielen lieben Dank, du hast mir echt schon oft geholfen 
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| 07.10.2015, 23:29 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gern geschehen. Bist ja ein ehrgeiziger Schüler - das macht Laune.
Bis Freitag dann. |
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| 21.10.2015, 01:36 | ghetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tut mir schrecklich leid, ich antworte wohl recht spät, das hab ich ein bisschen vergessen im Stress der letzten Zeit
Aber gut, sie meinte nur, das ist eine Plausibelmachung, aber kein Beweis, da ich nicht die Info benutzen dürfte, dass diese Formel als Polynom dritten Grades zu betrachten ist. Aber trotzdem hat sie sich über die Mühe gefreut
Noch mal danke
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