Matrizen AB = BA = 0

07.10.2015, 00:10	Quellquun	Auf diesen Beitrag antworten »
*Matrizen AB = BA = 0* Meine Frage: Der Titel sagt eigentlich schon alles, ich suche zwei Matritzen $\begin{eqnarray} A\neq0 , B\neq0 \end{eqnarray}$ für die gilt $\begin{eqnarray} AB = 0 = BA \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also vom rumprobieren her glaube ich dass die Matritzen mindestens 2x2 groß sein müssen, wenn ich dann die Bedingung ausschreibe bekomme ich ja ein Gleichungssystem mit 8 Variablen. Muss ich das lösen um eine Lösung zu bekommen oder ist das einfach ein Spezialfall, den man wissen muss/sollte? vielen dank schonmal im vorraus LG Tim
07.10.2015, 00:26	Quellquun	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok habe jetzt durch ausprobieren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ herraus bekommen. Gibt es dazu auch einen Lösungsweg bzw. kann mir jemand diesen erklären?
07.10.2015, 08:51	VG	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch probieren gefunden $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Spaltenvektor von A ist ein Kernvektor von B und umgekehrt VG
07.10.2015, 09:14	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage lässt sich auf das finden von Endomorphismen $\begin{eqnarray} f,g: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ zurückführen, für die $\begin{eqnarray} \mathrm{kern}(g)=\mathrm{bild}(f) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathrm{kern}(f)=\mathrm{bild}(g) \end{eqnarray}$ gilt. Dann ist nämlich für alle $\begin{eqnarray} v\in\mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f\circ g(v)=f(g(v))=0 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} g(v)\in \mathrm{kern}(f) \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} g\circ f(v)=g(f(v))=0 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} f(v)\in \mathrm{kern}(g) \end{eqnarray}$ . Danach identifizierst du die Abbildung unter einer Basis als Matrizen und erhälst das gewünschte Ergebnis. Alles in allem sollte dieser Weg einfacher sein. EDIT: Da ganze kann man dann auch für Endomorphismen auf anderen (höher-dimensionale Vektorräumen) machen.
07.10.2015, 09:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Restklassenring $\begin{eqnarray} \mathbb Z/4\mathbb Z \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} 2\ne 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2\cdot 2=4=0 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} (2) \end{eqnarray}$ ist eine $\begin{eqnarray} 1\times 1 \end{eqnarray}$ -Matrix.
07.10.2015, 09:45	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Matrizen AB = BA = 0* ... und damit das nicht unter den Tisch fällt: Es heißt "Matrix" mit Plural "Matrizen". Könnte sonst irgendwann mal peinlich werden. Außerdem: Versuche mal $\begin{align} 2\times 2 \end{align}$ -Matrizen zu finden, in denen kein Eintrag 0 ist und die diese Gleichungen erfüllen. Die gibt es nämlich. @Elvis Bestimmt ist vom TE verschwiegen worden, dass die Matrizen mal wieder über dem Körper $\begin{align} \mathbb R \end{align}$ gebildet werden sollen. Das wäre sonst (siehe deine Lösung) zu trivial.
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