Analysis 1 HÜ Beweis Verständnis

07.10.2015, 16:23

lanvin

Analysis 1 HÜ Beweis Verständnis

Meine Frage:
Vielen Dank, dass ihr mal reinschaut hier habe nund zwei Beispiele, die ich mir unsicher bin, ob ich so beweisne kann.

[attach]39264[/attach]

[attach]39263[/attach]

Meine Ideen:
Zum ersten Bsp habe ich folgendes überlegt:

[attach]39265[/attach]

Aus der Def. von schön B zeige ich, dass die Vereinig. v. allen möglichen Vereinig. aus Mengen v. schön A in schön A ist. Somit habe ich zwei Fälle :
1.Fall: Familie (Bi)i elem. I beschreibt alle Elemente aus schön B, somit U(Bi) ist in schön B
2.Fall: Bi bschreibt nicht alle elemente von schön B, da leere Menge in schön B ist, somit ist er auch drinnen

Zum zweiten Bsp.:

[attach]39266[/attach]

Beim i) <=> ii) Aus f ist inj. betrachte ich einfach f eingeschränkt auf A nach f(A), welche ist bijektiv (Das darf ich machen, da Annahme f inj ist.)

Beim iii) => i) zeige Widerspruchbeweis: Ang.: iii) Für alle A, B aus X(bitte sagen Sie mir, ob "Für alle" A, B ist) und f ist nicht inj. Somit zeige ich einfach ein Gegenbsp.

07.10.2015, 17:03

RavenOnJ

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RE: Analysis 1 HÜ Beweis Verständnis
Du solltest dir die Mühe machen, deinen Beweis sauber in Latex aufzuschreiben. Du kannst nicht erwarten, dass sich ein Helfer die Mühe macht, deinen unsauberen, abfotografierten Aufschrieb zu entziffern. Ich spreche hier nicht über die Qualität des Fotos.

Ansonsten: Wenn du beweisen willst, dass die Aussagen a), b) und c) äquivalent sind, dann reicht es, eine Implikationskette zu beweisen, beispielsweise $\begin{align*} a)\Rightarrow b)\Rightarrow c) \Rightarrow a \end{align*}$ . Dies spart gegenüber deinem Verfahren eine Richtung des Beweises, 3 statt 4.

07.10.2015, 17:27

lanvin

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RE: Analysis 1 HÜ Beweis Verständnis
Ich habe leider Latex noch nicht gelernt. Habe versucht schriftlich zu erklären. MfG!

07.10.2015, 17:38

RavenOnJ

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RE: Analysis 1 HÜ Beweis Verständnis

Zitat:

Original von lanvin
Ich habe leider Latex noch nicht gelernt.

Das ist für die hiesigen Zwecke ohne großen Aufwand schnell zu lernen. Es geht ja im wesentlichen nur um ein paar Symbole, die codiert werden müssen, beispielsweise \cap für $\begin{align*} \cap \end{align*}$ , oder \subset für $\begin{align*} \subset \end{align*}$ . Es gibt Webseiten, wo die Codes der mathematischen Symbole aufgelistet werden (google Hilfe+Latex). Als Einstieg kannst du dir auch mal die ersten zwei Seiten dieses Threads angucken. Oder benutze den Formel-Editor des Boards (siehe rechts unter "Werkzeuge").

07.10.2015, 17:53

lanvin

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RE: Analysis 1 HÜ Beweis Verständnis
Okay, das werde ich in Zukunft versuchen. Hier habe mal schön abgeschrieben, wobei bitte beim ersten Bsp anhand der Erklärung von meinem ersten Beitrag zu lesen.

[attach]39268[/attach]

[attach]39269[/attach]

07.10.2015, 17:56

RavenOnJ

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RE: Analysis 1 HÜ Beweis Verständnis
Da fehlt jetzt der Link, um es vergrößert anzugucken.

Edit: OK, ich sehe, du hast das geändert.

07.10.2015, 18:04

RavenOnJ

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RE: Analysis 1 HÜ Beweis Verständnis
Du hast bei $\begin{align*} ii)\Rightarrow iii) \end{align*}$ noch nicht gezeigt, dass auch $\begin{align*} f(A)\cap f(B)\subset f(A\cap B) \end{align*}$ gilt. Nur dann gilt nämlich die Gleichung.

07.10.2015, 18:07

lanvin

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RE: Analysis 1 HÜ Beweis Verständnis
Ich sage einfach, dass aus der Funktion f folgt, also f ist bijektiv und setzte die Inverse ein, somit habe ich wieder A durchsch inverse von f(B)

07.10.2015, 18:23

RavenOnJ

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RE: Analysis 1 HÜ Beweis Verständnis

Zitat:

Original von lanvin
Ich sage einfach, dass aus der Funktion f folgt, also f ist bijektiv und setzte die Inverse ein, somit habe ich wieder A durchsch B

Das Rote verstehe ich nicht.

Wie und wo hast du $\begin{align*} f(A)\cap f(B)\subset f(A\cap B) \end{align*}$ gezeigt? $\begin{align*} f(A\cap B)\subset f(A) \end{align*}$ und $\begin{align*} f(A\cap B)\subset f(B) \end{align*}$ und die Folgerung $\begin{align*} f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B) \end{align*}$ gilt immer, das hat nichts mit der Inejktivität von f zu tun.

07.10.2015, 18:26

lanvin

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RE: Analysis 1 HÜ Beweis Verständnis
Entschuldige, ich habe falsch gemacht.

Es gilt nämlich: f(A) schnit f(B) ist aus f(A), somit gilt Inverse f(A) schni f(B) aus A und aus B, somit ist aus A schnit B
und daher f(A) schni f(B) aus f(A schni B)

07.10.2015, 20:08

RavenOnJ

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RE: Analysis 1 HÜ Beweis Verständnis

Zitat:

Original von lanvin
Es gilt nämlich: f(A) schnit f(B) ist aus f(A), somit gilt Inverse f(A) schni f(B) aus A und aus B, somit ist aus A schnit B
und daher f(A) schni f(B) aus f(A schni B)

Versetz dich mal in den Leser dieser Zeilen, vielleicht verstehst du dann, warum ich dich um Latex-Code gebeten habe.

"Durchschnitt" = \cap, "aus" = \subset, "Inverse von f" = f^{-1}, "daraus folgt" = \Rightarrow. Den gesamten Code dann in Latex- oder mathjax-Tags setzen. Ist das so schwer?

08.10.2015, 00:41

lanvin

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RE: Analysis 1 HÜ Beweis Verständnis
$\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \subset f(A), \:somit\:gilt\: f^{-1}(f(A) \cap f(B))\subset A\: und \: \subset B, \:somit\: ist \: f^{-1}(f(A) \cap f(B)) \subset A \cap B<br /> und\: daher f(A) \cap f(B) \subset f(A \cap B) \end{eqnarray*}$

08.10.2015, 01:17

RavenOnJ

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RE: Analysis 1 HÜ Beweis Verständnis

Zitat:

Original von lanvin
$\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \subset f(A), \:somit\:gilt\: f^{-1}(f(A) \cap f(B))\subset A\: und \: \subset B, \:somit\: ist \: f^{-1}(f(A) \cap f(B)) \subset A \cap B<br /> und\: daher f(A) \cap f(B) \subset f(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Schon besser, aber die Texte solltest du außerhalb der Latex-Bereiche stellen. Außerdem benutze besser die mathjax-Umgebung, einfach "mathjax" statt "latex" in die eckigen Klammern schreiben:

Zitat:

$\begin{align*} f(A) \cap f(B) \subset f(A) \end{align*}$ , somit gilt $\begin{align*} f^{-1}(f(A) \cap f(B))\subset A \end{align*}$ und $\begin{align*} \subset B \end{align*}$ , somit ist $\begin{align*} f^{-1}(f(A) \cap f(B)) \subset A \cap B \end{align*}$ und daher $\begin{align*} f(A) \cap f(B) \subset f(A \cap B) \end{align*}$

Zum Sachlichen:
Das ist leider nicht richtig geschlussfolgert, denn
$\begin{align*} f(A) \cap f(B) \subset f(A)\Rightarrow f^{-1}(f(A) \cap f(B))\subset A \end{align*}$
gilt im Allgemeinen nicht. Ein einfaches Gegenbeispiel: Sei $\begin{align*} x\notin A, f(x)\in f(A)\cap f(B) \end{align*}$ , also f eine nicht injektive Abbildung. Dann ist $\begin{align*} f^{-1}(f(A) \cap f(B))\not\subset A \end{align*}$ . Du musst die Aussage ii), also $\begin{align*} \forall A\subset X:f^{-1}( f(A)) = A \end{align*}$ noch berücksichtigen. Ist ja auch klar, denn du willst ja schlussfolgern ii) $\begin{align*} \Rightarrow \end{align*}$ iii).

Betrachte zu dem Zweck am besten ein Element x aus $\begin{align*} f(A) \cap f(B) \end{align*}$ und dessen Urbild. Berücksichtige dann ii) und zeige, dass das Urbild $\begin{align*} f^{-1}(x) \end{align*}$ in $\begin{align*} A \cap B \end{align*}$ liegen muss.

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