Betragsungleichung

07.10.2015, 20:42

Rose15

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Betragsungleichung

Meine Frage:
Hallo zusammen! Ich habe eine Frage zur folgenden Frage:

Beweise die folgende Ungleichung für a,b element von R (reellen Zahlen):

$\begin{eqnarray*} |a + b| + |a - b| \geq |a| + |b| \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Meine Behauptung ist es, dass ich diese Ungleichung bestimmt auch mit der Dreiecksungleichung beweisen kann, die folgendermassen definiert ist:

$\begin{eqnarray*} |a + b| \leq |a| + |b| \end{eqnarray*}$

Dabei könnte auch die sogennante umgekehrte Dreiecksungleichung auch von Nutzen sein:

$\begin{eqnarray*} |a - b| \geq ||a| - |b|| \end{eqnarray*}$ .

Ab hier scheitert es bei mir. Ich bin mir im unklaren, wie ich die obigen Ungleichungen miteinander in Verbindung bringen kann. Hätte da jemand eine Idee?

Vielen Dank im Voraus! smile

smile

07.10.2015, 20:48

IfindU

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RE: Betragsungleichung
Das einfachste (wenn auch sicher nicht das eleganteste) wird es einfach sein mit Fallunterscheidung an die Sache zu gehen, d.h. die Ungleichung für $\begin{eqnarray*} a,b \geq 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a,b \leq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a > 0 > b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b > 0 > a \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Effektiv reicht es sogar nur den ersten Fall zu zeigen, und dann zu argumentieren, warum daraus alle anderen Fälle folgen.

Edit: Übrigens ist deine umgekehrte Dreiecksungleichung gerade falschrum.

07.10.2015, 20:59

Rose15

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RE: Betragsungleichung
Wäre es dann ein zulässiger Beweis?

Also im ersten Fall hätten wir $\begin{eqnarray*} a,b \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Es ist logisch, dass die Ungleichung damit erfüllt ist, doch wie schreibt man das mathematisch sauber auf? verwirrt

verwirrt

PS: Tut mir leid! Hab's auch schon geändert! smile

smile

07.10.2015, 21:03

IfindU

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RE: Betragsungleichung
Schreib die Ungleichung doch mal auf -- wie viele Beträge kannst du weglassen, wenn du weißt, dass $\begin{eqnarray*} a,b \geq 0 \end{eqnarray*}$ ? Was steht dann da?

07.10.2015, 21:08

Rose15

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RE: Betragsungleichung
Dann steht noch:

$\begin{eqnarray*} 0 \geq |a| + |b| ? \end{eqnarray*}$

07.10.2015, 21:09

IfindU

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RE: Betragsungleichung
Ich fürchte, das musst du mir genauer erklären. Jedenfalls würde aus $\begin{eqnarray*} 0 \geq |a| + |b| \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$ folgen.

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07.10.2015, 21:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Rose15
Meine Behauptung ist es, dass ich diese Ungleichung bestimmt auch mit der Dreiecksungleichung beweisen kann

Was nicht heißt, dass man die hier unbedingt auf $\begin{align*} a,b \end{align*}$ anwendet, sondern vielleicht auf $\begin{align*} a+b,a-b \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} a+b,b-a \end{align*}$ :

$\begin{align*} |a+b| + |a-b| \geq |(a+b)+(a-b)| = 2|a| \end{align*}$

$\begin{align*} |a+b|+|b-a| \geq |(a+b)+(b-a)| = 2|b| \end{align*}$ .

Könnte vielleicht hilfreich sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2015, 21:16

IfindU

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@HAL
Daran hatte ich auch gedacht, mich hatten die Faktoren 2 in den letzten beiden Ungleichungen gestört. Schade, dass ich nicht einen Schritt weiter gedacht habe Forum Kloppe

Forum Kloppe

07.10.2015, 21:25

Rose15

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An IfindU:

Irgendwie komme ich da selber auch nicht draus. Wenn a,b \geq 0, so muss |a + b| \geq 0 und da ein Betrag positiv herauskommt, so muss |a - b| ebenfalls \geq 0 sein.

$\begin{eqnarray*} |a + b| + |a - b| \geq |a| + |b| \end{eqnarray*}$

An HAL 9000:

Ich wage die Behauptung zu formulieren, dass du die Dreiecksungleichung und die umgekehrte Dreiecksungleichung addiert hast, wobei du für ||a| + |b|| zwei Fallunterscheidungen beim Betragauflösen gemacht hast, einmal mit (a - b) und einmal mit (b - a), stimmt's? Weshalb hat sich jedoch das Ungleichheitszeichen die Richtung geändert?

Wenn es euch nicht stört, so würde ich bei "HAL 9000" - Methode bleiben, da die Dreiecksungleichung in der Vorlesung für diese Übungsserie aufgetaucht ist, weshalb ich daraus schliesse, dass der Assistierende die Aufgabe damit gelöst haben möchte. Vielen Dank für das Verständnis smile

smile

07.10.2015, 21:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Rose15
Ich wage die Behauptung zu formulieren, dass du die Dreiecksungleichung und die umgekehrte Dreiecksungleichung addiert hast, wobei du für ||a| + |b|| zwei Fallunterscheidungen beim Betragauflösen gemacht hast, einmal mit (a - b) und einmal mit (b - a), stimmt's?

Bisher habe ich nichts dergleichen getan. Nochmal, obwohl ich es oben schon erläutert habe: Ich habe lediglich die Dreiecksungleichung $\begin{align*} |x|+|y|\geq |x+y| \end{align*}$ zweimal angewandt, einmal auf $\begin{align*} x=a+b,y=a-b \end{align*}$ und das andere mal auf $\begin{align*} x=a+b,y=b-a \end{align*}$ .

07.10.2015, 21:28

IfindU

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Klar, ist das elegantere. Nur um meinen Weg zu beenden: Ist $\begin{eqnarray*} a,b \geq 0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} a+b \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} |a| = a, \quad |b| = b , \quad |a+b| = a+b \end{eqnarray*}$ . Also ist
$\begin{eqnarray*} |a+b| + |a-b| \geq |a|+|b| \iff a + b + |a-b| \geq a + b \iff |a-b| \geq 0 \end{eqnarray*}$ , was eine wahre Aussage ist.

07.10.2015, 21:32

HAL 9000

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Ich halte den Weg gar nicht für eleganter - nur für besser übertragbar, wenn man die Aussage etwa auf komplexe a,b bzw. beliebige normierte Räume ausdehnen will. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2015, 21:44

Rose15

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An IfindU:

Hammer

Hammer

Ah so war das gemein! Tut mir leid. Klar, so ist es auch verständlich!

Du hast ja auch von den weiteren Fällen gesprochen. ich wende das Ganze auf den zweien Fall mal an:

Seien a,b \leq 0. So gilt für a,b \in \mathbb R :

a - b \leq 0 bzw. b \geq a Es gelten wieder |a| = a, |b| = b, |a - b| = a - b.
D.h. |a + b| + |a - b| \gec |a| + |b| ist äquivalent zu (a + b) + (a - b) \gec (a + b)
(a + b) wird gekürzt, (a - b) wird auf die rechte Seite genommen, dann mit (-1) subtrahiert und kommt somit erneut auf |a - b| \gec 0.

07.10.2015, 21:44

IfindU

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Mein Beweis benötigt lästige Fallunterscheidung, die ja nicht zufällig genau die gleichen sind, die man beim klassischen Beweis der klassischen Dreiecksungleichung benutzt. D.h. man beweist effektiv erneut die Dreiecksungleichung auf den reellen Zahlen statt die allgemeinere Eigenschaft der Dreiecksungleichung von Normen zu benutzen -- wenn das nicht unelegant ist, weiß ich auch nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Rose: Du musst aufpassen welche Beträge du ersetzt und durch was. Es ist $\begin{eqnarray*} |x| = \begin{cases} x & x \geq 0 \\ -x & x < 0\end{cases}. \end{eqnarray*}$
Falls also $\begin{eqnarray*} a,b \leq 0 \end{eqnarray*}$ . So ist $\begin{eqnarray*} |a| = -a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |b| = -b \end{eqnarray*}$ . So wäre z.B. für $\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} |a| = |-1| = 1 = -(-1) = - a \end{eqnarray*}$ .

07.10.2015, 21:54

Rose15

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An HAL 9000:

Darf man mit dem Additionsverfahren beide Ungleichungen addieren?

Damit meine ich, ist es zulässig, wenn:

I) $\begin{eqnarray*} |a+b|+|a - b| \geq 2|a| \end{eqnarray*}$

II) $\begin{eqnarray*} |a+b|+|b - a| \geq 2|b| \end{eqnarray*}$

und I) + II) = $\begin{eqnarray*} 2|a + b| \geq 2(|a|+|b|) \end{eqnarray*}$

danach Division durch 2 und es folgt

$\begin{eqnarray*} |a + b| \geq |a| + |b| \end{eqnarray*}$ --> Dreiecksungleichung.

07.10.2015, 22:01

Rose15

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@IfindU:

Verstehe ich dann richtig, dass in diesem Fall |a + b| = -a - b ist?

Übrigens, noch eine Frage zum Forum (Habe mich vor noch keiner Stunde hier registriert). Muss man sich all 5 Minuten erneut anmelden? Denn immer, wenn ich an einer Antwort dran bin, heisst es, ich sei ausgeloggt.

07.10.2015, 22:05

IfindU

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Genau. Denn mit $\begin{eqnarray*} a,b \leq 0 \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} a+b \leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Und von dem Problem habe ich mal gelesen -- normal ist es nicht. Schau mal ob das hilft Link.

Edit: Ich verabschiede mich mal in die Nacht. Und zu deiner Frage an HAL: Bedenke, dass $\begin{eqnarray*} |a-b| + |b - a| \end{eqnarray*}$ NICHT $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.

07.10.2015, 22:11

Rose15

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Noch etwas Letztes, dann verabschiede ich mich auch smile

smile

Ich glaube, ich habe herausgefunden, wie ich mein Gehirn verwenden kann!

Wenn nun :
$\begin{eqnarray*} |a+b|+|a - b| \geq |a| + |b| \end{eqnarray*}$

Und die Dreiecksungleichung:

$\begin{eqnarray*} |a| + |b| \geq |a + b| \end{eqnarray*}$

So muss doch

$\begin{eqnarray*} |a+b|+|a - b| \geq |a + b| \end{eqnarray*}$ sein. Wenn nun auf beiden Seiten -|a+b| addiert wird, so bleibt noch übrig:

[latex] |a - b| \geq 0 und da nach Definition ein Betrag immer positiv ist, muss diese Aussage wahr sein.

Stimmt das? smile

smile

Danke für alles!

07.10.2015, 22:17

HAL 9000

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Du hast unter Nutzung der unbewiesenen (!) Behauptung, und unter zusätzlicher Anwendung der Dreiecksungleichung die wahre Aussage $\begin{align*} |a-b|\geq 0 \end{align*}$ gefolgert - und was hast du damit gekonnt? Jedenfalls nicht die Behauptung bewiesen. unglücklich

unglücklich

Ach ja, dies noch:

Zitat:

Original von HAL 9000
Könnte vielleicht hilfreich sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Offenbar doch nicht jedem - so kann man sich irren. Aber wenn ich den letzten einen Schritt auch noch aufgeschrieben hätte, wäre es ja eine Komplettlösung gewesen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2015, 22:23

Rose15

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traurig

traurig

traurig

Ich gebe auf!

Ginge es auch nicht, wenn ich die Dreiecksungleichung zuerst beweise und dann voraussetze, dass $\begin{eqnarray*} |a - b| \geq 0 \end{eqnarray*}$ und dadurch argumentiere, dass die Behauptung wahr sein muss?

Mache dir keine Sorgen. Womöglich ist dein Tipp auch sehr hilfreich,nur ist es so, dass mein Kopf nicht mehr mag und leider müsste ich es bis morgen haben :/

07.10.2015, 22:28

HAL 9000

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Ich kann das Elend nicht länger mit ansehen, herrje: Es ist $\begin{align*} |b-a|= |-(a-b)|= |a-b| \end{align*}$ . Damit stehen oben bei mir die beiden Ungleichungen

$\begin{align*} |a+b| + |a-b| \geq 2|a| \end{align*}$

$\begin{align*} |a+b| + |a-b| \geq 2|b| \end{align*}$ .

Wenn's bei dir jetzt immer noch nicht Idee!

Idee!

macht, dann weiß ich auch nicht mehr weiter. unglücklich

unglücklich

07.10.2015, 22:29

Mathema

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Du hattest doch schon die richtigen Idee?!

Zitat:

Darf man mit dem Additionsverfahren beide Ungleichungen addieren?

Anscheinend ist dir aber nicht klar, dass folgendes gilt (mal mit Zahlen):

$\begin{eqnarray*} |3-5|=|5-3|=2 \end{eqnarray*}$

Die Summe ist aber nicht Null, daher der Hinweis von IfindU.

edit: Mit Variablen hat´s dir HAL nun noch mal hingeschrieben.

07.10.2015, 22:37

Rose15

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Ahso, also Additionsverfahren ist doch noch möglich Gott

Gott

Deshalb nehme ich das wieder auf:

I) $\begin{eqnarray*} |a+b|+|a - b| \geq 2|a| \end{eqnarray*}$

II) $\begin{eqnarray*} |a+b|+|b - a| \geq 2|b| \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} |a+b|+|a - b| \geq 2|b| \end{eqnarray*}$

und I) + II) = $\begin{eqnarray*} 2|a + b| + 2|a - b| \geq 2(|a|+|b|) \end{eqnarray*}$

Division durch 2 und ich habe:

$\begin{eqnarray*} |a + b| + |a - b| \geq |a|+|b| \end{eqnarray*}$

Ist es richtig so?

Tut mir echt leid traurig

traurig

07.10.2015, 22:55

HAL 9000

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Ja klar, so war es gemeint. Übrigens muss man das bloße Addieren zweier Ungleichungen nicht gleich begrifflich zum "Additionsverfahren" aufblasen. Big Laugh

Big Laugh

07.10.2015, 22:58

Rose15

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Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

Danke dir für alles! Für die Zeit, die du dir genommen hast, wie auch die Geduld, die du mit mir hattest!

Hehe mein ehemaliger Lehrer bezeichnete das immer so. Er fand, dass es somit besser klingen würde Big Laugh

Big Laugh

Wünsche dir einen schönen Abend noch! (Muss noch die Reinschrift machen!)

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