Summenformel für natürliche Zahlen

08.10.2015, 00:39

DieLösung

Summenformel für natürliche Zahlen

Inspiriert von einem Thread in der Schulmathematik möchte ich Folgendes beweisen:

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Dazu möchte ich die Formel

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$ nutzen. Denn Ableiten dieser Formel liefert:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n kx^{k-1} = \frac{1-x^{n+1} - (n+1)(1-x)x^{n}}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$ .

Allgemein ist dabei natürlich erst einmal die Frage, in wiefern man diese Formel überhaupt für den kritischen Wert x=1 benutzen darf. So liefert etwa die Grenzwertbetrachtung

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 1} \sum_{k=0}^n x^k = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = n+1 \end{eqnarray*}$ (weil der rechte Term der Differenzenquotient der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{n+1} \end{eqnarray*}$ an der Stelle 1 ist.) ein richtiges Ergebnis.

Nun meine erste Frage: Darf man überhaupt davon ausgehen, dass der betrachtete Grenzwert mit dem Summenwert identisch ist? Meine Vermutung ist ja, da die Gleichung auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1) \end{eqnarray*}$ gilt. Deshalb solten die Grenzwerte für x gegen 1 auf beiden Seiten der Gleichung, so sie denn existieren, ebenfalls gleich sein. Außerdem ist die Summe auf der linken Seite eine endliche Summe stetiger Funktionen, also ist auch an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ der Funktionswert gleich dem dortigen Grenzwert.

08.10.2015, 08:45

IfindU

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RE: Summenformel für natürliche Zahlen
Stimmt alles so, auch wenn man hier mit Kanonen auf Spatzen schießt. Um eine Summenformel zu berechnen, benutzt du eine andere Summenformel, eine Ableitung und einen Grenzwertprozess.

Die einfachste Herleitung, ist die man Gauß im Alter von 6 (oder 8?) nachsagt: Man schreibe bemerke, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i = 0}^n i = \sum_{i = 0}^n (n-i) \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} \sum_{i = 0}^n i = \frac 1 2 \left ( \sum_{i = 0}^n i + \sum_{i = 0}^n (n-i) \right) \end{eqnarray*}$ . Nach dem zusammen ziehen der Summen kann man die Summe explizit auswerten und kommt sofort zum Ergebnis.

Einen ähnlichen Trick verwendet man übrigens um die Formel der geometrischen Reihe zu berechnen. Dazu schreibt man $\begin{eqnarray*} \sum x^i = \frac { (x-1) } { (x-1)} \sum x^i \end{eqnarray*}$ und benutzt, dass es eine Teleskopsumme wird.

08.10.2015, 09:54

DieLösung

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RE: Summenformel für natürliche Zahlen
Ok, dann mache ich erst mal weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n kx^{k-1} = \frac{1-x^{n+1} - (n+1)(1-x)x^{n}}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ zu betrachten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 1} \frac{1-x^{n+1} - (n+1)(1-x)x^{n}}{(1-x)^2} = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1+nx^{n+1} -(n+1)x^{n} }{(1-x)^2} = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{n(n+1)x^{n} -(n+1)nx^{n-1} }{-2(1-x)}=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ Tanzen

mit dem Satz von l'Hospital.

Der Einwand mit den Spatzen ist natürlich nicht ganz unberechtigt Augenzwinkern

. Die Geschichte dazu ist auch witzig, wie der Lehrer zunächst sarkastisch auf den kleinen Gauß herunterschaut. Big Laugh

Nun könnte man ja auch die Spatzen noch etwas größer machen und die Summenformel für die quadratischen Zahlen herleiten, indem man die Formel für die Ableitung der geometrischen Summe mit x multipliziert, um die Potenzen zu restaurieren, und noch einmal ableitet und wiederum den Grenzwert $\begin{eqnarray*} x\rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ betrachtet. Das verschieb ich dann noch einmal auf später ...

08.10.2015, 10:50

IfindU

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RE: Summenformel für natürliche Zahlen
Stimmt so. Übrigens eine weitere Möglichkeit $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^k \end{eqnarray*}$ für höhere k auszurechnen ist $\begin{eqnarray*} (n+1)^{k+1} - 1 = \sum_{i=1}^n (i+1)^{k+1} -\sum_{i=1}^n i^{k+1} \end{eqnarray*}$ auszurechnen, indem man mit dem binomischen Lehrsatz auf $\begin{eqnarray*} (i+1)^k \end{eqnarray*}$ anwendet. Dann kürzen sich die Summen mit der Potenz k+1 weg, es bleibt noch $\begin{eqnarray*} k \sum_{i=1}^n i^k \end{eqnarray*}$ übrig, und jede Menge Terme der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^l \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} l < k \end{eqnarray*}$ . Damit kann man nach $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^k \end{eqnarray*}$ umstellen, und wenn man die niedrigeren Summenformlen kennt, auch explizit angeben.

08.10.2015, 12:27

DieLösung

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Cool, auch wenn die Formel sicherlich für höhere k sehr kompliziert wird.

Das ist bei den Ableitungen aber wohl nicht anders ...

Jedenfalls sollte also gelten

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n{i^k} = \lim_{x\rightarrow 1} (\frac{d}{dx}x)^{k-1} B_n'(x) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} B_n(x) = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$ ., $\begin{eqnarray*} B_n'(x) = \frac{1+nx^{n+1}-(n+1)x^n}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$ .

Ein bestimmtes Schema, nach dem sich die Ableitungen "geschlossen" berechnen lassen, kann ich hier leider gerade nicht erkennen - wäre wohl auch zu schön.

Deshalb betrachte ich zunächst einfach mal, was nach einmaliger Anwendung von $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} x \end{eqnarray*}$ passiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} xB'(x) = B'(x) + xB''(x) \end{eqnarray*}$ . verwirrt

Hmm ... Was wohl heißt, dass man Ableitungsterme, die einmal aufgetreten sind, nie wieder los wird ...

08.10.2015, 12:37

IfindU

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Man kann eine explizite Form für die Ableitungen von B_n aufstellen:
http://www.academia.edu/2843645/A_formul...f_two_functions

Das andere ist k-1 fache Produktregel, dafür gibts ja auch eine Formel. Wenn du keine Angst vor vielen Summen und Binomialkoeffizienten hast, könnte man etwas explizites aufstellen.

08.10.2015, 19:22

DieLösung

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Hey cool, allerdings wundere ich mich, dass jemand ein Paper darüber schreibt, dass er die Produktregel auf einen Bruch angewendet hat. verwirrt

Zitat:

Original von DieLösung

Jedenfalls sollte also gelten

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n{i^k} = \lim_{x\rightarrow 1} (\frac{d}{dx}x)^{k-1} B_n'(x) \end{eqnarray*}$

Gemeint war natürlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{\mathbf{i}=0} ^n{i^k} = \lim_{x\rightarrow 1} (\frac{d}{dx}x)^{k-1} B_n'(x) \end{eqnarray*}$

Ansonsten liefert die Ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}xB'(x) = B'(x)+xB''(x)=B'(x) + \frac{n(n+1)x^{n+1}-(n+1)nx^n}{(1-x)^2} + 2 \frac{xB'(x)}{(1-x)} = \frac{1+x}{1-x}B'(x) + \frac{n(n+1)x^{n+1}-(n+1)nx^n}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$ . Hmm hier kann ich den richtigen Grenzwert gerade nicht erkennen.

Muss mir wohl später noch mal den ausmultiplizierten Ausdruck anschauen.

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