Ungleichung beweisen...?

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Ladydudeldei Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung beweisen...?
Meine Frage:
Guten Abend/Morgen!

Folgendes Problem... als Vorbereitung auf das was kommen wird haben wir so Übungsbsp. bekommen und ich hab... Nicht die geringste Ahnung wie ich die angehen soll. Eines davon lautet folgendermaßen:



Das das so ist seh ich zwar, allerdings soll ich das jetzt direkt und indirekt (und durch Widerspruch beweisen) und ich weiß beim besten Willen nicht wie... Weil es is mir ja klar, dass das so ist

Meine Ideen:
Naja, ich hab mir halt gedacht ich form mal fröhlich flott um, hab jetzt folgendes da stehen:

x^3+2x^2>0
x(x^2+2x)>0
x^2(x+2)> 0

Das wars aber auch schon mit meinen grandiosen ideen, weil was ich mit meiner feschen Umformung machen soll weiß ich nicht :-/

Gibt es jemanden der sich meiner unwissenden Seele erbarmen würde und mit mir durch das Bsp geht? Dafür wäre ich unendlich dankbar!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung beweisen...?
Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel


Du kannst höchstens zeigen, dass
Ladydudeldei Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung beweisen...?
Mein Fehler (Sorry, Sauklaue... und zu meiner Verteidigung muss ich sagen, dass es spät war), die Ungleichung sollte eigentlich lauten
x3+2x>0 Hammer

Naja, ich hab mir jetzt folgendes überlegt:



Und weil wenn man was negatives quadriert immer was positives rauskommt, muss das in der großen Klammer positiv sein... Und da negativ mal positiv zu einem Ergebnis <0 führt muss das doch so passen, oder? verwirrt
Ladydudeldei Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung beweisen...?
Achso, Mist, damit sag ich ja nur, dass es für negative x nicht hinhaut verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Von der Grundidee richtig, vom Aufschrieb chaotisch: Erst schreibst du , setzt dann aber ein - da fehlt ein wenig ordnende, erklärende Struktur zu dem, was du da vorhast. unglücklich
Ladydudeldei Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaah, ich hab ursprünglich -r geschrieben weil ich (äh fälschlicherweise) beweisen wollte dass es eben für die negativen Zahlen so nicht hinhaut... Aber wenn ich das minus weg lasse dann komm ich auf



Und da immer > 0 und positiv mal positiv immer größer 0 ist müsste das dann so direkt bewiesen sein...?
 
 
gast0810 Auf diesen Beitrag antworten »

x soll aber aus R sein, nicht nur aus R+.

x*(x^2+2) >0

Wann ist das der Fall ? Fallunterscheidung !
Ladydudeldei Auf diesen Beitrag antworten »

Momentchen mal, kann ich nicht das, was ich vorhin mit dem -r gemacht habe für den indirekten Schluss nutzen...
Weil bei der Kontraposition nutzt man ja, dass man statt A -> B einfach -B -> -A nutzt...

Und -B wäre ja, dass x nicht größer als 0 ist, oder eben kleiner oder gleich 0... Und für's kleiner hab ich's ja im Prinzip schon bewiesen und x=0 geht ganz einfach über

0^3+2*0=0
0=0 w.a.

Und dann fehlt mir nur noch der Widerspruchsbeweis... ich geh mal tüfteln Augenzwinkern
Ladydudeldei Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry gast0810, deine Nachricht hab ich in meiner Euphorie übersehen, aber du hast natürlich recht
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ladydudeldei
Und dann fehlt mir nur noch der Widerspruchsbeweis... ich geh mal tüfteln Augenzwinkern


Den du im Wesentlichen weiter oben schon geliefert hast, nur - wie HAL schon anmerkte - schlecht formuliert und strukturiert.
Ladydudeldei Auf diesen Beitrag antworten »

Mahlzeit smile

Also, ich hab die Zeit mal genutzt um ausgiebig zu frühstücken und mich mit einem anderen Bsp zu quälen. Inzwischen bin ich bei diesem hier so weit (ich verzichte mal auf Latex, aufm Handy ist das nicht so hammermässig):

Direkt: A => B
A: x^3+2x> 0 B: x> 0

x (x^2+2)> 0

F1: x> 0
x^2+2 muss > 0 sein, da x^2 positiv ist (muss ich das beweisen?)
Da das Produkt positiver Zahlen positiv ist (muss ich das beweisen?) muss x(x^2+2)> 0 eine w.A. sein

F2: x=0

0^3+2*0> 0
0> 0 f.A.

F3: x <0

Da x^2 positiv ist muss auch x^2+2 positiv sein.
Da das Produkt einer negativen Zahl mit einer positiven Zahl <0 ist, ist
x(x^2+2)> 0 eine f.A.

qed

Indirekt: -B => -A
-B: x kleinergleich 0
-A: x^3+2x kleinergleich 0

F1: x> 0
x (x^2+2) kleinergleich 0 f.A. (Begründung s. Direkt F1)

F2: x=0
0^3+2*0 kleinergleich 0 w.A.

F3: x <0
x (x^2+2) kleinergleich 0 w.A. (Begründung s. Direkt F3)

qed

Widerspruch: -B und A ist f.A.
-B: x kleinergleich 0
A: x^3+2x> 0

Und jetzt häng ich ein bissl (hab mich vllt selbst verwirrt verwirrt )

Setz ich jetzt einfach ein x e R- in A ein und seh dann dass das eine falsche Aussage liefert und hab damit das ganze bewiesen?!

Grosses Danke im übrigen an alle die mir helfen!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ladydudeldeiich verzichte mal auf Latex, aufm Handy ist das nicht so hammermässig

Dafür gibt es den Formeleditor (guckst du rechte Seite), der ja wohl auch auf deinem smarten phone funktioniert.

Zitat:


Direkt: A => B
A: x^3+2x> 0 B: x> 0

x (x^2+2)> 0

F1: x> 0
x^2+2 muss > 0 sein, da x^2 positiv ist (muss ich das beweisen?)
Da das Produkt positiver Zahlen positiv ist (muss ich das beweisen?) muss x(x^2+2)> 0 eine w.A. sein

F2: x=0

0^3+2*0> 0
0> 0 f.A.

F3: x <0

Da x^2 positiv ist muss auch x^2+2 positiv sein.
Da das Produkt einer negativen Zahl mit einer positiven Zahl <0 ist, ist
x(x^2+2)> 0 eine f.A.

qed

Was sollen all die Fallunterscheidungen und was bedeutet "f.A."? Du kannst doch einfach die Ungleichung durch den (natürlich) positiven Term teilen und erhältst direkt .

Zitat:

Indirekt: -B => -A
-B: x kleinergleich 0
-A: x^3+2x kleinergleich 0

F1: x> 0
x (x^2+2) kleinergleich 0 f.A. (Begründung s. Direkt F1)

F2: x=0
0^3+2*0 kleinergleich 0 w.A.

F3: x <0
x (x^2+2) kleinergleich 0 w.A. (Begründung s. Direkt F3)

qed

Hier musst du nur einen Fall betrachten, nämlich den, der der Voraussetzung entspricht, also . Das ist in dem Fall . Daraus folgt direkt , da wiederum .

Zitat:


Widerspruch: -B und A ist f.A.
-B: x kleinergleich 0
A: x^3+2x> 0

Setz ich jetzt einfach ein x e R- in A ein und seh dann dass das eine falsche Aussage liefert und hab damit das ganze bewiesen?!


Ja, einfach einsetzen und Widerspruch zu A zeigen.
Ladydudeldei Auf diesen Beitrag antworten »

Merci, merk ich mir für die Zukunft smile

Zu direkt: gut, das macht natürlich Sinn, f.A. heißt falsche Aussage.
Sind meine Fallunterscheidungen denn grundsätzlich richtig? Ist vielleicht nicht die schnellste Methode aber wenn ich die Möglichkeit der Division überseh müsste es mich doch auch zum Ziel führen...


Widerspruch: na gut, also sag ich einfach ich setz ein negatives x (oder 0) ein, komme dazu einen negativen Ausdruck (oder eben 0) mit einem positiven zu multiplizieren und erhalte einen negativen Ausdruck (oder 0) links, was offensichtlich nicht größer als 0 ist und damit ist alles bewiesen? Das ist ja gar nicht so fürchterlich wie ich gedacht hab...

Vielen vielen Dank! Gott
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Bei deinen Fallunterscheidungen für den direkten Beweis machst du mit F1 den Umkehrschluss. F1 gehört nicht in den direkten Beweis, da du dort als Voraussetzung B: x>0 benutzt. Du beweist also . Du sollst aber beweisen, nicht die an sich auch richtige, strengere Aussage .

Die Voraussetzungen F2 und F3 sind gerade die aus dem Widerspruchsbeweis und du bekommst richtigerweise falsche Aussagen. Du hast damit den Widerspruchsbeweis schon erledigt. Der direkte Beweis kommt also auch ohne F2 und F3 aus.

Dein gesamter "direkter" Beweis beweist also , was nicht gefordert war.
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