Jeder metrische, kompakte Raum enthält eine abzählbare dichte Menge

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OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »
Jeder metrische, kompakte Raum enthält eine abzählbare dichte Menge
Hallo! Wir hatten letzte Woche folgende Übungsaufgabe:

Zeigen Sie, dass jeder metrische, kompakte Raum auch separabel ist, also eine abzählbare dichte Menge enthält!


Die Lösung, die wir dazu bekommen haben:


Zu jedem festen bildet die Menge der offenen Kugeln eine offene Überdeckung von X.

(es ist eine Überdeckung, weil alle Punkte von X inkludiert sind und offen, weil es um jeden Punkt eine Epsilonumgebung gibt, die in der Menge liegt)

Da X kompakt ist existiert eine endliche Teilüberdeckung

Wir nehmen die Menge der Mittelpunkte

Dann ist M dicht in X.



Wir haben dicht so definiert, dass M dicht in X ist, falls und .


Mein Poblem ist, dass ich nicht verstehe, warum M dicht in X ist. , aber warum gilt ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jeder metrische, kompakte Raum enthält eine abzählbare dichte Menge
In metrischen Räumen gilt: ist dicht genau dann, wenn für alle und alle ein existiert, s.d. .

Die Menge der Mittelpunkte ist gerade so gewählt, dass dies immer gewährleistet ist.
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, ok, versteh schon. Danke!
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