"Gesetze" der linearen Algebra |
08.10.2015, 17:53 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
"Gesetze" der linearen Algebra ich habe zu obigen Thema ein paar Fragen bitte. Im Anhang finden sich ein paar solcher "Gesetze". Gesetz 1: I) Objekte sind doch z.B. Zahlen, Funktionen, Gegenstände etc. oder? Kann man dazu auch "Element" sagen? II) Ich versuche mal das Gesetz zu formulieren: Wenn ich also endliche Objekte vor mir habe, dann habe ich eine Menge A, in der diese Objekte enthalten sind. Richtig? III) D.h. "x ist ein Element aus A" ist dasselbe wie "x ist gleich a_1 ODER x = a_2 ODER ... ODER a_n" Hier gibt doch n die Anzahl der Elemente an, also wenn n=0, dann habe ich nichts in der Menge A --> Leere Menge. Richtig Gesetz 2: Ja ok, dass ist eben die Schreibweise, dass "N" eine Menge darstellt, die alle natürlichen Zahlen entählt. Dazu gibts nichts mehr zum sagen? Dasselbe kann ich ja mit "Z" und so auch machen. Gesetz 3: I) D.h. diese Schreibweise(mit großem U etc.) schreibt man nur, wenn eine Menge A nur Mengen enthält und nichts anderes? II) Aber warum ist da von Vereinigung und Schnitt die Rede? Gesetz 4: Was sagt dieses Gesetz? Ich verstehe gerade mal nur den ersten Satz, dass A,B Mengen sind. Gesetz 5: Warum soll eine Menge C existieren, wenn A1....An Mengen sind? Dieses Gesetz verstehe ich auch nicht so wirklich. Ich hoffe ihr könnt mir da ein wenig weiterhelfen! Gruß Probability |
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08.10.2015, 18:47 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
1 I) Nein . Ein Objekt ist ein wohldefiniertes Ding unseres Denkens oder unserer Anschauung. Ein Element ist ein Objekt in einer Menge, das ist (nach Cantor) die Zusammenfassung wohldefinierter und wohlunterschiedener Objekte zu einem Ganzen. 1 II) Nein . Nicht die Objekte sind endlich, die Menge ist endlich. 1 III) Das gilt genau für die endliche Menge Alle Gesetze 1 bis 5 sind Axiome der Mengenlehre. Da ist nichts selbstverständliches dran. Von Axiomen verlangt man, dass sie gelten sollen. Danach kann man anfangen, aus diesen Axiomen logische Schlüsse zu ziehen. 2) ist eine Existenzaussage. Wenn man mit natürlichen Zahlen arbeiten will, muss man sie definieren (z.B. über Axiome) oder ein Modell konstruieren, die Eigenschaften des Modells untersuchen und die Eindeutigkeit der Menge beweisen. Will man sich die Mühe sparen, so geht man davon aus, dass jeder Schüler die natürlichen Zahlen kennt, und dann fasst man sie in diesem Axiom zu einer Menge zusammen. 3) Die Definition von Vereinigung und Durchschnitt (beliebig vieler Mengen) ist falsch. Ganz rechts muss jeweils a statt A stehen. In der Axiomatik der Mengenlehre wird so die Existenz von Vereinigung und Durschschnitt axiomatisch festgelegt. 4) kann man nur verstehen, wenn man im Abschnitt 3 nachsieht. Ohne das fehlt mir die Definition des Begriffs Funktion und die Definition von F, T und p. Anscheinend möchte man hier Teilmengen des Bildbereichs einer Funktion f als Menge erklären für die das Urbild eine bestimmte Teilmenge von A ist. Das soll wohl auf die Einschränkung der Funktion auf eine Teilmenge von A hinauslaufen. Vielleicht dient es auch nur zur Definition des Begriffs Teilmenge ? 5) Hier wird die Existenz des cartesischen Produkts axiomatisch gefordert, und es wird definiert, welche Elemente das cartesische Produkt enthält. |
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08.10.2015, 19:53 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ah ok, d.h. mit sog. Axiomen macht man sich also "Regeln", die man in der Algebra anwendet? Gut, jetzt verstehe ich es ein bisschen besser. Aber kannst du mir zu Satz 3 ein Beispiel vielleicht geben, denn so recht, weiß ich noch nicht, was das bedeutet. |
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08.10.2015, 22:53 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hm, oder lass uns nochmals einen Schritt zurück gehen. Folgendes bitte: 1. Heißt das, dass alle x mit der Eigenschaft(x) Elemente der Menge M sind? Aber wo kommt das x her? Müsste man doch auch festlegen z.B. --> heißt das jetzt, dass alle x aus den natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft "x<3"(also jene Zahlen x, die kleiner 3 sind) Elemente der Menge M sind? Passt das so? 2. Kann ich statt | auch einen : schreiben? Hat das dieselbe Bedeutung? 3. Kann ich statt auch schreiben? Was dann bedeuten würde "Alle x mit der Eigenschaft "aus den natürlichen Zahlen UND kleiner als 3"... |
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09.10.2015, 01:54 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ich denke, das geht auch.
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09.10.2015, 12:24 | Probability1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Okay, danke. In der Algebra geht es ja dauernd um Beweise, also immer muss man etwas beweisen. Bsp: Wenn und , dann ist . 1.Warum muss ich diese Aussage beweisen? Das obige ist doch so klar wie 5+8. 2. Wie gehe ich da am besten vor, wenn ich das beweisen will? |
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09.10.2015, 12:29 | Probability1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sorry, bin grad nur am Handy online, nochmal hier schöner: Wenn und , dann ist . |
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09.10.2015, 14:11 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ist dir denn zeichnerisch klar was diese Aussage bedeutet? |
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09.10.2015, 15:04 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also wenn A eine Teilmenge von B ist, dann haben wir einen großen Kreis B und in diesem ist ein kleinerer Kreis A. Jene Objekte, die man im Kreis A "sieht", "sind" ja auch in Kreis B. Also ist A eine Teilmenge von B. Kreis C wäre nun über beide Kreise drüber, somit ist auch A in C enthalten. Ist das so gemeint, oder muss man für jede "Operation" eigene Kreise zeichnen. Aber ich kann ja nicht einfach sagen x ist ein Element aus A --> x ist ein element aus C? Was ist dazwischen? |
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09.10.2015, 15:10 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Argumentation geht im Wesentlichen so: Liegt a in A, so liegt es auch in B und damit auch in C. |
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09.10.2015, 18:01 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich dachte mit "grafisch darstellen" meint man Kreise zeichnen, also Kreise repräsentieren die Menge und z.B. Punkte im Kreis sind die Objekte, die die Mengen definieren. Ok, ich versuchs mal zu beweisen: Annahme: und Zu zeigen: A \subset C. beliebig, aufgrund der Annahme ist und muss auch in C sein: D.h.: Ist das nun ein Beweis? Also für mich ist das nur erklären der Annahme und was zu zeigen war. So wie: 5+3 und dann erkläre einfach: Man halt 5 Äpfeln im Korb, gebe 3 dazu und dann hast du 8. |
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09.10.2015, 18:24 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ja, richtig. Das ist die Transitivität der Teilmengenrelation. Nicht jeder Beweis muss kompliziert sein! |
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09.10.2015, 19:04 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Aha! Ok, schon langsam versteh ichs. - Danke! Ein Zeichen ist mir, jedoch noch überhaupt nicht klar. Nämlich jenes, dass im meinem Bild ganz oben bei Punkt 3 vorkommt. Folgendes verstehe ich daraus: Also wenn A eine Menge von Mengen ist, d.h. jedes Objekt bzw. Element, dass A definiert, ist eine Menge, z.B. A = {{1,2},{2,3}}. meint ja die Vereinigung der Mengen, die A definiert und meint der Schnitt der Mengen, die A definiert. Aber was heißt z.B. und das rechts daneben des oder ? |
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09.10.2015, 19:26 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
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09.10.2015, 19:33 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Achso, okay danke. Kannst du mir bei meiner letzten Frage weiterhelfen bitte? |
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09.10.2015, 19:38 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
genau dann, wenn (Tippfehler!) für mindestens ein (man darf sich nicht dadurch irritieren lassen dass die Mengen nun kleingeschrieben werden). Analog der Schnitt, |
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09.10.2015, 20:42 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hm ich bekomme die Symbole nicht hin. Hab folgendes geschrieben: \begin{align*} x \in \bigcup_{a \in A}a \end{align*} |
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09.10.2015, 21:03 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wie kann man Formeln schreiben? Was willst du mir damit sagen? |
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09.10.2015, 21:07 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
------ Ah jetzt gehts, habe den latex-text gesucht, aber konnte ihn nicht von deiner vorletzten Formel kopieren, egal, habs jetzt von deiner letzten getan ----- Back to Topic Also die linke Seite bedeutet, dass x irgend ein Element aus der Vereinigung der Mengen a1...an(die A definieren) ist. Also x "ist" nun eine Menge, Zahl, oder was auch immer von den "a1...an" definiert wird. --> x "ist" nicht a, sondern, dass was a definiert. - Stimmt so, richtig? Die rechte Seite bedeute ja im Prinzip dasselbe. Also für mindestens ein Element a in A, gibt es ein Element x in a. - Hmm, was bedeutet der ":" nochmals? Und warum gilt das für mind. ein Element a in A? Für alle Elemente a in A, würde es doch auch passen, oder nicht? Denn ich nehme doch alle Elemente a in A und vereinige diese Mengen a(die in A "sind") zu einer Menge M z.B. |
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09.10.2015, 21:16 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der Doppelpunkt heißt einfach nur, dass es für diese gelten soll.
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09.10.2015, 21:40 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok, danke. Vereinigung: Also es bedeutet, bei mind. einem Element a(oder wenn mind. ein Element a existiert), gilt "x ist ein Element aus a". Schnitt: Gut, beim Schnitt ist es einfach dasselbe, nur das statt vereinigt, geschnitten wird. Und rechts bedeutet halt: Für alle Elemente a in A gilt "x ist ein Element aus a". Das ist einfach so definiert, also normale Definition: "wenn foo, dann bar". So in der Art oder? |
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09.10.2015, 22:48 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich sehe keine linken und rechten Seiten. Du musst aufpassen, dass du nicht die Symbolik atomisierst. Irgendwo, irgendwann muss eine ( axiomatische ) Idee einer Menge in deinem Kopf entstehen. Diese "Hürde" samt Elementeigenschaft schaffen Grundschüler ja auch. |
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10.10.2015, 00:30 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich beziehe mich immer auf dem im meinem Bild(Startpost) geposteten 3ten Satz. Ich hab das in den vorigen Posts erwähnt. Habs dann nicht mehr erwähnt, sorry. Aber ich habs doch so richtig verstanden, wie ich es im letzten Post erklärt habe, oder? |
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10.10.2015, 10:35 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok, ich habe hier nochmals ein Beispiel: Befassen wir uns mal mit der linken Seite des "=" bitte: D.h., wenn , dann wird zuerst mal die Vereinigung der Mengen b(die B definiert) gebildet und mit dieser neuen Vereiniungsmenge schneide ich dann nochmals mit der Menge A und x ist dann ein Element aus dieser neuen Menge, richtig? Nun zur "rechten Seite" des "=": Also, wenn , dann werden sozusagen allen Mengen b(die B definiert) mit A geschnitten, bevor vereinigt wird. Und x ist ein Element aus der am Schluss vereinigten Menge, wo vorher schon für jede Menge b mit A geschnitten wurde. Richtig? Und die Aussage stimmt, denn ob ich jetzt zuerst vermenge und dann den Schnitt ermittle, oder zuerst den Schnitt jeder einzelnen Menge ermittle und dann vermenge, bleibt sich ja gleich. Aber was ist z.B. wenn ist? Wird diese dann so reingeschrieben und mit vermengt? Dann könnte ja die "rechte Seite" oben im Endergebnis eine leere Menge definieren und die link Seite z.b. gar nicht, bei gleichen Werten überall. Oder was meint ihr dazu? Den Beweis versuche ich dann später zu machen. |
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10.10.2015, 10:53 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja. Na und? Ist doch nichts besonders, nur dass diese Menge dann nichts zur Vereinigung beiträgt.
Das passiert nur, wenn alle sind, und in dem Fall ist dann auch die linke Seite gleich . Ein umfassend richtiger Beweis erfasst diesen Fall (auch wenn das gar nicht direkt angesprochen werden muss). Eine Anmerkung zur Symbolik: Statt kannst du auch einfach schreiben, das ist tatsächlich so definiert. Im Unterschied zu , das ist einfach schlicht identisch mit . |
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10.10.2015, 12:09 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Achso okay danke. Im Anhang befindet sich ein Beweis dazu. Ein paar Fragen: 1. Also man hat immer eine Annahme und, dass was man zeigen will und das geht dann so: Wir nehmen an: und zeigen folgendes: - Richtig? 1.1 Also da beides mal "x" vorkommt, heißt das nun, das der linke "Term" gleich dem ("=") rechtem Term ist. Richtig? 2. Muss man dann immer die jeweilige Definition von der "Vereinigung der Mengen" dazu schreiben, wie es hier gemacht wird: ? 3. Dann steht da "Nach Annahme gilt und Warum schreibt man das jetzt so auf? Ich meine, ja ich habe laut meiner Annahme eine Menge A und eine Vereinigte Menge. 4. "Wähle ein mit ." Naja das ist ja klar, im Endeffekt ist x ja ein Element der Vereinigten Menge. Warum ist wegen auch ? Was bedeutet das? Ich verstehe da nicht wirklich, wie die das beweisen. |
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10.10.2015, 14:50 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, nicht richtig, denn das wäre nur eine Tautologie. Übrigens: Wenn man Mengengleichheit zeigen will, dann macht man das typischerweise, indem man einerseits zeigt und andererseits . (Ob man dabei oder zeigt, ist Geschmacksache, denn beide Mengenoperatoren bedeuten im Grunde genommen dasselbe. bedeutet nicht, dass eine echte Teilmenge von ist. Will man das ausdrücken, dann schreibt man . ) Man kann nun zeigen, indem man beweist, dass gilt d.h. muss Obermenge von sein, da alle Elemente aus auch in sind.
Wenn ein Element in der Vereinigung von Mengen enthalten ist, also , dann muss es ein geben mit , oder mit dem Existenz-Quantor ausgedrückt
Du musst schon richtig lesen. Da steht: "Nach Annahme gilt und "
Wenn und , dann ist natürlich auch . |
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10.10.2015, 15:18 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok, danke. Ich werde zu den jeweiligen Punkten etwas sagen. Zu Punkt 1: Ja aber laut Bild, wird das ja auch so gemacht, oder nicht? Man muss ja was Annehmen und man muss ja dann auch sagen, was man zeigen will, oder nicht? zu Punkt 2: Also sollte ich den Existzenz-Quantor immer niederschreiben, wenn ich die Vereinigung oder den Schnitt von Mengen habe und irgendetwas beweisen will? zu Punkt 3: Ok, sorry, dass war mein Fehler. Ich meinte natürlich eh diesen Abschnitt, den du zitiert hast. Darum nochmal die Frage: Warum gilt nach Annahme "...."? Also warum schreibt man das so auf? Was erziele ich damit? zu Punkt 4: Bedeutet, dass jetzt, dass x in A UND b vorkommen kann? Und damit haben wir ja einen Schnitt mit , da ja x in A UND b vorkommen kann. Oder wie darf ich das verstehen? |
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11.10.2015, 14:21 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du solltest dir den Zettel schon genau durchlesen.
Für die Vereinigung genügt es zu zeigen, dass x in einem enthalten ist - für den Schnitt ist jedoch zu zeigen, dass x in allen enthalten ist - also Allquantor.
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11.10.2015, 14:22 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
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11.10.2015, 14:41 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da hast du recht.
Diese Konvention ist aber nicht so üblich. Im Regelfall sind meiner Erfahrung nach und identisch. Und wenn nicht, dann wird das explizit erwähnt. @Probability In dem Beweis ist außerdem ein Schreibfehler. Das zweite "" müsste eigentlich "" heißen. |
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11.10.2015, 16:30 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Okay Okay, danke Leute. Jetzt hats "Klick" gemacht. Ich kann den Beweis nun nachvollziehen. Jedoch ist folgender doch noch etwas kniffliger: Erstmal zur Erklärung, was da überhaupt passiert: - Linke Seite: B ist die Menge der Mengen b und diese Mengen b werden "geschnitten", d.h. die neue Menge definiert dann alle gemeinsamen Elemente aller b's. Dann werden alle Elemente von der "neuen Menge" von A abgezogen, d.h. alle gemeinsamen Elemente die A und die "neue Menge" definieren werden "weggeschmissen" und man hat wieder eine neue Menge. - Rechte Seite: Hier wird für jedes b geguckt, wo gemeinsame Elemente mit der Menge A sind, wenn man gemeinsame Elemente finden, dann werden sie "weggeschmissen". So entsteht für jede Menge b eine "neue Menge" und diese "neuen Mengen" werden dann vereinigt, d.h. alle Elemente der "neuen Mengen" werden in einen "Topf" geschmissen und dann ensteht wieder eine neue Menge(doppelte Elemente gibt es natürlich nicht, 2x9 wäre 9 z.B.). Wenn ich mir also den Vorgang so durchdenke für die linke und rechte Seite, dann ist mir nicht klar, warum die Menge, die links rauskommt, genau dieselben Elemente enthalten soll, wie die Menge, die rechts rauskommt. Könnt ihr mir bitte weiterhelfen? |
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11.10.2015, 18:24 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der Ansatz ist der selbe wie in der Aufgabe davor. Du nimmst dir ein und zeigst dann , und umgekehrt. |
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13.10.2015, 00:56 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Gut, dann lass mal loslegen. "" Sei beliebig. Zu zeigen ist . Dazu ist zu zeigen . Nach Annahme gilt und , d.h. . Wähle mit . Für dieses b gilt: . Es folgt und damit die Behauptung. "" Sei beliebig. Zu zeigen ist . Dazu ist zu zeigen und , d.h. , d.h. . Wähle mit , dann gilt . Dann gilt: Hmm, bin mir nicht ganz sicher, ob das stimmt. Weiß nocht nicht so recht, wann und wo ich die Quantoren benutzen sollen. Vorallem auch wegen der Negation, die drinnen ist. Da ist es ja auch einmal vertauscht oder? Was meint ihr zu meinem Beweis? |
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13.10.2015, 12:34 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der Rest stimmt aber. Zur anderen Richtung:
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13.10.2015, 22:39 | Probability | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Okay, danke, war wohl doch zu spät^^. Hier nochmals: "" Sei beliebig. Zu zeigen ist . Dazu ist zu zeigen . Nach Annahme gilt und , d.h. . Wähle mit . Für dieses b gilt: . Es folgt und damit die Behauptung. "" Sei beliebig. Zu zeigen ist . Dazu ist zu zeigen und , d.h. . Wähle mit , dann gilt . Dann gilt: Stimmt der All-Quantor bei der Rückrichtrung überhaupt? Ich habe da ja x not in b drinnen? Wo und wann ich diese Quantor benutzen soll, weiß ich noch nicht so recht. Kansnt du mir da noch weiterhelfen bitte? Folgendes ist mir klar: Existenz-Quantor bedeutet: "es existiert ein ...., für das gilt:" All-Quantor bedeutet: "für alle ..., gilt:" |
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13.10.2015, 23:27 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das Rote ist falsch. Es gilt allerdings das gewünschte |
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