Eine topologische Gruppe

08.10.2015, 18:04	OhNo234	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine topologische Gruppe Sei (G, T) eine topologische Gruppe, also eine Gruppe versehen mit einer Topologie, sodass $\begin{eqnarray} (g,h) \to gh \end{eqnarray}$ als Abbildung von $\begin{eqnarray} G \times G \end{eqnarray}$ (versehen mit der Produkttopologie) nach G und $\begin{eqnarray} g \to g^{-1} \end{eqnarray}$ als Abbildung von G nach G stetig sind. Weiters seien $\begin{eqnarray} M_1, M_2 \end{eqnarray}$ Teilmengen von G. a) Weisen Sie nach, dass wenn $\begin{eqnarray} ( I, \leq ) \end{eqnarray}$ eine gerichtete Menge und $\begin{eqnarray} ( x_i )_{i \in I} , ( y_i )_{i \in I} \end{eqnarray}$ zwei Netze in G über dieser gerichteten Menge mit $\begin{eqnarray} x_i \to x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_i \to y \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x,y \in G \end{eqnarray}$ sind, dann auch $\begin{eqnarray} x_i y_i \to xy \end{eqnarray}$ . b) Weiters zeige man, dass wenn $\begin{eqnarray} M_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_2 \end{eqnarray}$ kompakt sind, dann auch $\begin{eqnarray} M_1 * M_2 \end{eqnarray}$ eine kompakte Teilmenge von G ist. c) Man zeige, dass $\begin{eqnarray} M_1 * M_2 \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist, wenn eine der beiden Mengen abgeschlossen und die andere kompakt ist. Hinweis: Nehmen Sie an, dass z im Abschluss von $\begin{eqnarray} M_1 * M_2 \end{eqnarray}$ ist, und betrachten Sie ein Netz, das aus $\begin{eqnarray} M_1 * M_2 \end{eqnarray}$ heraus gegen z konvergiert! a) Wir hatten schon mal den Beweis, dass in einem topologischen Raum $\begin{eqnarray} x_i y_i \to xy \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} x_i \to x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_i \to y \end{eqnarray}$ . Kann ich den Beweis abändern, sodass er hier auch gilt? Das einzige Problem wäre glaube ich die Definition von Konvergenz, bei der wir Metriken verwendet hatten. Wir haben aber auch eine Definition von Konvergenz in topologischen Räumen, nämlich dass $\begin{eqnarray} x_i \to x \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} \forall U \in \textit{U} (x) \exists I_0 \in I: \forall i \geq i_0 \Rightarrow x_i \in U \end{eqnarray}$ . Kann ich mit der Definition arbeiten? b) Eine Menge ist kompakt, falls jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt oder äquivalent dazu wenn jedes Netz ein konvergentes Teilnetz besitzt. Wir haben schon letzte Woche bei den Übungsaufgaben gezeigt, dass $\begin{eqnarray} X_1 \times X_2 \end{eqnarray}$ versehen mit der Produkttopologie kompakt ist, falls $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ kompakt sind. Folgt das dann schon aus dem? Falls nicht, worin unterscheiden sich die beiden Fälle? c) Ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray} \overline{M_1M_2 } = M_1 M_2 \end{eqnarray*}$ ist. Ich verstehe aber nicht, wie ich das mit einem Netz zeigen kann...falls ein Punkt der Grenzwert eines Netzes aus der Menge ist, ist es ja nur ein Häufungspunkt und muss nicht in der Menge liegen...
19.10.2015, 01:20	OhNo234	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich das so machen? a) $\begin{eqnarray} x_i \to x, y_i \to y \Rightarrow \begin{pmatrix} x_i \\ y_i \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in G \times G \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (g,h) \mapsto gh \end{eqnarray}$ ist stetig (laut Angabe) $\begin{eqnarray} \Rightarrow f( x_i , y_i ) = x_i * y_i \Rightarrow xy = f(x,y) \end{eqnarray}$ b) Ist $\begin{eqnarray} x_i y_i \in M_1M_2 \Rightarrow x_{i(j)} \to x \in M_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_{i(j(k))} \to y \in M_2 \Rightarrow x_{i(j(k))}y_{i(j(k))} \to xy \in M_1 M_2 \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} z \in \overline{M_1M_2} , x_i \in M_1, y_i \in M_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_iy_i \to z \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} M_1 \end{eqnarray}$ abg., $\begin{eqnarray} M_2 \end{eqnarray}$ kompakt Sei $\begin{eqnarray} y \in M_2 \end{eqnarray}$ der Grenzwert von $\begin{eqnarray} y_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (y_i)^{-1} \to y^{-1} \Rightarrow (x_i * y_i )(y_i)^{-1} \to zy^{-1} \Leftrightarrow x_i(y_iy_i^{-1}) \to zy^{-1} \Leftrightarrow (x_i) \to zy^{-1} \in M_1 \Rightarrow x_i y_i \to zy^{-1}x = z \in \overline{M_1M_2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} zy^{-1} \in M_1 , y \in M_2 \Rightarrow z \in M_1 * M_2 \Rightarrow \overline{M_1 * M_2} \subseteq M_1 * M_2 \Rightarrow M_1 * M_2 \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen
20.10.2015, 00:03	OhNo234	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind die Beweise so ok. ?
21.10.2015, 10:40	OhNo234	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon gelöst. Anscheinend passt es doch so

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »