Zeigen, dass eine Teilmenge relativ kompakt ist

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08.10.2015, 19:46	91Matt19	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass eine Teilmenge relativ kompakt ist Hallo! Ich habe bei einer Übungsaufgabe Probleme... "Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \Phi = \{ f \in C^1 [0,1] : f(0)=0 , \|\|f´\|\|_{\infty} \leq 1 \} \end{eqnarray}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray} C([0,1], \mathbb{R} ) \end{eqnarray}$ relativ kompakt ist, dh. dass $\begin{eqnarray} \bar{\Phi} \end{eqnarray}$ kompakt ist." Wie gehe ich da am besten vor?
08.10.2015, 21:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass eine Teilmenge relativ kompakt ist Das schreit doch gerade zu nach Arzela--Ascoli.
19.10.2015, 03:14	91Matt19	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, mir ist gerade aufgefallen, dass ich beim letzten Post einen Fehler gemacht habe. Ich meinte eigentlich: $\begin{eqnarray} \Phi = \{ f \in C^1 [0,1] : f(0)=0 , \|\|f'\|\|_{\infty} \leq 1 \} \end{eqnarray}$ Danke, du hast Recht. Habs mir jetzt genauer angeschaut und habe einen Korollar zum Satz von Ascoli gefunden, der besagt, dass für $\begin{eqnarray} \Phi \in C_b(X, \mathbb{C} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overline{\Phi} \end{eqnarray}$ genau dann kompakt ist, wenn $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ punktweise beschränkt und gleichgradig stetig ist. Ich bin mir bei punktweiser Beschränktheit nicht ganz sicher, wir wissen nämlich nur, dass die Supremumsnorm der ersten Ableitung beschränkt ist... Gleichgradige Stetigkeit folgt glaube ich schon aus dem Mittelwertsatz, also $\begin{eqnarray} \frac{f(x)-f(t)}{x-t} = f'(x) \leq \|\|f'\|\|_{\infty} \leq 1 \Rightarrow \|f(t)-f(x)\| < \|t-x\| < \epsilon \end{eqnarray}$
19.10.2015, 07:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Sorge, ich fand $\begin{eqnarray} f^4 \end{eqnarray}$ durch 1 zu beschränken seltsam genug, um mir den LaTeX-Code dazu anzugucken, und dort sieht man, dass du f´ geschrieben hast Die gleichgradige Stetigkeit kann man so machen. Du musst nur aufpassen, dass rechts kein "echt-kleiner" steht, sondern kleiner gleich. Zur punktweisen Beschränkheit: Ich hoffe es ist klar, dass "Punkte" hier Funktionen $\begin{eqnarray} f \in \Phi \end{eqnarray}$ meint. D.h. punktweise beschränkt heißt $\begin{eqnarray} \forall f \in \Phi: \\| f \\|_\infty \leq M \end{eqnarray}$ für eine große Konstante $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Und man hat zum Glück mehr als, dass die Supremumsnorm der ersten Ableitung beschränkt ist. Das selbst würde nämlich nicht reichen um Beschränkheit zu folgern: Man könnte nämlich $\begin{eqnarray} f(x) = \text{const.} \end{eqnarray}$ definieren und damit die Supremumsnorm asymptotisch in der Konstante gegen unendlich treiben, und das mit Ableitungen, die konstant 0 sind. Wichtig hier ist zusätzlich die Bedingung $\begin{eqnarray} f(0) = 0 \end{eqnarray}$ . Benutze die Information, und dass nach dem Hauptsatz gilt $\begin{eqnarray} f(x) = f(y) + \int_y^x f'(z) dz \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y \in [0,1] \end{eqnarray}$ um zu folgern, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auch durch 1 beschränkt ist.
19.10.2015, 15:07	91Matt19	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! $\begin{eqnarray} y \leq x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = f(y) + \int_y^x f'(z) dz \forall x,y \in [0,1] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq f(y) + \int_y^x 1 dz \forall x,y \in [0,1] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = f(y) + z\|_y^x \forall x,y \in [0,1] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = f(y) + (x - y) \forall x,y \in [0,1] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq f(y) -1 \forall x,y \in [0,1] \end{eqnarray}$ Wenn y=0 wäre, wäre es jetzt einfach, aber das muss nicht gelten...
19.10.2015, 15:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Abschätzung ist falsch. Ich habe extra geschrieben, dass es für alle x und y gilt. D.h. du kannst $\begin{eqnarray} y = 0 \end{eqnarray}$ setzen. D.h. du hast dort $\begin{eqnarray} f(x) = \int_0^x f'(z) dz \end{eqnarray}$ . Vlt kommst du damit weiter.
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19.10.2015, 15:37	91Matt19	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x) \leq f(y) +x-y \end{eqnarray}$ y=0 $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(x) \leq 0 + x -0 = x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \in [0,1] \Rightarrow f(x) \leq 1 \end{eqnarray}$
19.10.2015, 15:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht. Etwas vorsichtiger zeigt dann auch $\begin{eqnarray} \|f(x)\| \leq 1 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \\|f\\|_\infty \leq 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} f \in \Phi \end{eqnarray}$ .
19.10.2015, 18:57	91Matt19	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \| f(x) \| = \| f(y) + \int_y^x f'(z) dz \| \leq \|f(y)\| + \| \int_y^x f'(z) dz \| = \|f(y)\| + \|(x-y)\| = 0 + \|x\| \end{eqnarray}$ (für y=0) $\begin{eqnarray} \leq 1 \end{eqnarray}$
19.10.2015, 18:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt
19.10.2015, 19:17	91Matt19	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!!

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