Probleme bei Beweis

09.10.2015, 09:11

C.F.Gauss

Probleme bei Beweis

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Frage zu einem Beweis, den ich in der Vorlesung nicht ganz verstanden habe.
Es war zu zeigen, dass Q eine echte Teilmenge des Körpers (M,+,*) mit $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist und M eine echte Teilmenge von R ist.

Meine Ideen:
Wg. $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\in M \end{eqnarray*}$ ist Q eine echte Teilmenge von M.
Nun ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ nicht Element von M ist.

Indirekter Beweis: Andernfalls gäbe es a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Q, sodass $\begin{eqnarray*} a+b*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2b^{2} \end{eqnarray*}$ = 3-2a $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$
2a $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ =3+ $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} 2b^{2} \end{eqnarray*}$

da der Teil hinter dem = Element von Q ist, müsste a=0 sein. Dann folgte 3- $\begin{eqnarray*} 2b^{2} \end{eqnarray*}$ =0
b= $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist dann, dass $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ ungleich $\begin{eqnarray*} b^{2} \end{eqnarray*}$ .

Andernfalls folge mit b= $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 3q^{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2p^{2} \end{eqnarray*}$ für q,p Element von N.

Also teilt 2 $\begin{eqnarray*} q^{2} \end{eqnarray*}$ , da ja rechts immer ein gerade Zahl stehen muss und 3 nur mit geraden Zahlen multipliziert gerade wird. Damit teilt 2 auch q und somit teilt 4 $\begin{eqnarray*} q^{2} \end{eqnarray*}$ . Soweit, so gut.

Nun folgert der Professor, dass daher $\begin{eqnarray*} p^{2} \end{eqnarray*}$ gerade sein muss. Aber warum??? Die rechte Seite wird ja schon wegen dem Faktor 2 immer gerade!
Jedenfalls muss dann auch p gerade sein. Dann folgt ein Schritt, den ich überhaupt nicht verstehe: rechts steht gemäß Professor dann ein Produkt mit ungerader Potenz von 2, links mit gerader Potenz, was einen Widerspruch ergäbe.

Kann mir jemand den Schluss nochmal leicht verdaulich/mit Zwischenschritten für einen Anfänger erklären?

Danke!!!

09.10.2015, 09:49

bijektion

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Du meinst vermutlich $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn du $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}=a+b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ an beiden Seiten quadrierst, erhälst du $\begin{eqnarray*} 3=a^2+2b^2+2ab\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Was kannst du jetzt schon folgern?

09.10.2015, 09:50

10001000Nick1

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RE: Probleme bei Beweis

Zitat:

Original von C.F.Gauss
Nun folgert der Professor, dass daher $\begin{eqnarray*} p^{2} \end{eqnarray*}$ gerade sein muss. Aber warum??? Die rechte Seite wird ja schon wegen dem Faktor 2 immer gerade!

Aber die rechte Seite muss ja sogar durch 4 teilbar sein (weil es auch die linke Seite ist).

Zitat:

Original von C.F.Gauss
Dann folgt ein Schritt, den ich überhaupt nicht verstehe: rechts steht gemäß Professor dann ein Produkt mit ungerader Potenz von 2, links mit gerader Potenz, was einen Widerspruch ergäbe.

In den Quadraten $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ kommt jede Primzahl mit gerader Potenz vor, also auch die 2. Rechts wird dann nochmal mit 2 multipliziert, weswegen man auf der rechten Seite eine ungerade Potenz von 2 hat.

09.10.2015, 09:52

C.F.Gauss

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genau, a und b sind Element von Q

09.10.2015, 09:58

C.F.Gauss

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RE: Probleme bei Beweis
Danke für die Antwort!

okay, dass mit der Teilbarkeit durch 4 auf beiden Seiten ist mir jetzt klar, also muss $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ gerade sein, weil wenn es ungerade ist, ist es nicht $\begin{eqnarray*} 2p^2 \end{eqnarray*}$ nicht durch 4 teilbar.

Aber wieso kommt in den Quadraten jede Primzahl mit gerader Potenz vor? Wie ist das gemeint? Da würde ich mich über eine genauere Erklärung sehr freuen!

Danke!

09.10.2015, 10:02

10001000Nick1

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Wenn $\begin{eqnarray*} p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot ...\cdot p_k^{n_k} \end{eqnarray*}$ die Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} p_1^{2n_1}\cdot p_2^{2n_2}\cdot ...\cdot p_k^{2n_k} \end{eqnarray*}$ die Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ (einfache Anwendung der Potenzgesetze).

09.10.2015, 10:14

C.F.Gauss

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okay, ich brauche da also die Primfaktorzerlegung. Das kann ich nachvollziehen. Und wenn ich dann $\begin{eqnarray*} 2^2n \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite mit 2 multipliziere, habe ich $\begin{eqnarray*} 2^2n+1 \end{eqnarray*}$ , also einen ungeraden Exponenten. Das stellt dann wohl schon den entscheidenden Widerspruch dar? Ganz schön schwer, da drauf zu kommen, aber ich bin da halt noch nicht so drin.

Danke!

09.10.2015, 10:16

C.F.Gauss

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also in meinem vorherigen Beitrag soll n natürlich im Exponenten stehen

09.10.2015, 10:25

10001000Nick1

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Zitat:

Original von C.F.Gauss
Das stellt dann wohl schon den entscheidenden Widerspruch dar?

Ja. Man benutzt da die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Die 2 muss auf beiden Seiten in gleicher Potenz vorkommen. Wegen gerade/ungerade ist das hier aber nicht möglich, also ein Widerspruch dazu.

Mehrere Zeichen im Exponenten müssen in geschweifte Klammern gesetzt werden: 2^{2n+1} ergibt $\begin{eqnarray*} 2^{2n+1} \end{eqnarray*}$ .

09.10.2015, 10:29

C.F.Gauss

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alles klar, vielen, vielen Dank für die Hilfe, jetzt hab ich es verstanden!

09.10.2015, 10:36

RavenOnJ

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RE: Probleme bei Beweis

Zitat:

Original von C.F.Gauss

Zu zeigen ist dann, dass $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ ungleich $\begin{eqnarray*} b^{2} \end{eqnarray*}$ .

Andernfalls folge mit b= $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 3q^{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2p^{2} \end{eqnarray*}$ für q,p Element von N.

Also teilt 2 $\begin{eqnarray*} q^{2} \end{eqnarray*}$ , da ja rechts immer ein gerade Zahl stehen muss und 3 nur mit geraden Zahlen multipliziert gerade wird. Damit teilt 2 auch q und somit teilt 4 $\begin{eqnarray*} q^{2} \end{eqnarray*}$ . Soweit, so gut.

Nun folgert der Professor, dass daher $\begin{eqnarray*} p^{2} \end{eqnarray*}$ gerade sein muss. Aber warum??? Die rechte Seite wird ja schon wegen dem Faktor 2 immer gerade!
Jedenfalls muss dann auch p gerade sein. Dann folgt ein Schritt, den ich überhaupt nicht verstehe: rechts steht gemäß Professor dann ein Produkt mit ungerader Potenz von 2, links mit gerader Potenz, was einen Widerspruch ergäbe.

Nur eine Anmerkung:
Man könnte da auch noch anders argumentieren. Nicht gerade bzw. ungerade Potenz von 2, sondern voraussetzen, dass p/q vollständig gekürzt ist, die Potenz von 2 also nur in p oder q vorkommen kann, nicht in beiden. Dann auf derselben Argumentationslinie wie oben folgern, dass sowohl p als auch q durch 2 teilbar sein müssen, was ein Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit ist. Dies ist auch analog zum üblichen Weg, die Irrationalität von $\begin{align*} \sqrt 2 \end{align*}$ zu zeigen.

09.10.2015, 10:45

C.F.Gauss

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RE: Probleme bei Beweis
ah, stimmt, die Irrationalität von Wurzel 2 hatten wir auch auf die von dir genannte Art und Weise nachgewiesen. Natürlich würde das hier auch funktionieren! Danke für den Hinweis!!

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