Punktweise/gleichmäßige Konvergenz I |
09.10.2015, 12:52 | Maria9 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Punktweise/gleichmäßige Konvergenz I Für , seien die Funktionen auf (0, 1) definiert wie folgt: Konvergiert diese Folge von Funktionen punktweise oder sogar gleichmäßig? Somit wäre die Funktion nicht mal punktweise konvergent. |
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09.10.2015, 12:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Punktweise/gleichmäßige Konvergenz Mal abgesehen davon, daß du für x = 1/n eine doppelte Definition hast, weiß ich, was du mit:
sagen willst und warum die Funktion nicht punktweise konvergent sein soll. |
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09.10.2015, 13:15 | Maria9 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir wissen, dass ist, also konvergiert bei gegen . |
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09.10.2015, 13:42 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
OK. Aber wie sieht es nun mit der punktweisen Konvergenz aus? |
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09.10.2015, 15:40 | Maria9 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei punktweiser Konvergenz muss man ja das x festhalten (in diesem Fall kommt x nicht vor) und dann überprüfen, wie die Konvergenz bei ausschaut... |
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12.10.2015, 15:19 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, und was ist das Ergebnis deiner Prüfung? Beachte auch, welche Funktionsvorschrift in Abhängigkeit von n zu nehmen ist. |
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15.10.2015, 17:30 | Maria9 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin mir nicht ganz sicher, mich verwirrt diese Aufgabe total. Man kann zu einem gegebenem x ein N so wählen kann, dass . Dann müsste ich mit arbeiten, welches bei gegen 0 konvergiert. Also ist die Funktionenfolge doch punktweise konvergent...? |
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16.10.2015, 09:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu ergänzen ist noch, daß die Ungleichung x > 1/n für alle n >= N gilt.
Korrekt. |
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11.11.2015, 18:58 | Maria9 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke. Und wie kann ich überprüfen, ob die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist? |
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12.11.2015, 08:32 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die eigentliche Frage ist: ist überhaupt die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent? |
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13.11.2015, 19:42 | Maria9 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für gleichmäßige Konvergenz haben wir meistens die Supremumsnorm der Funktionenfolge minus der Grenzfunktion genommen, also in diesem Fall . Soll ich dann für oder nehmen? wäre größer, oder? |
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14.11.2015, 21:20 | Maria9 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und da gegen konvergiert, wäre die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergent. |
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16.11.2015, 09:22 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Frage wird durch die Definition der Funktion beantwortet. Für das Supremum ist natürlich der Wert n² die richtige Wahl, da immer ist. |
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18.11.2015, 01:57 | Maria9 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke! Also kann ich damit begründen, dass die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergent ist? |
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18.11.2015, 08:29 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. |
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18.11.2015, 11:22 | Maria9 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke |
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19.11.2015, 17:33 | Maria9 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hatte eine Teilaufgabe vergessen: man soll noch die Funktionenfolge der Einschränkungen betrachten. Die gleichmäßige Konvergenz würde genauso wie vorher gehen, aber wie kann ich untersuchen, ob es punktweise konvergent ist oder nicht? |
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20.11.2015, 08:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ähh? Die Frage ist irgendwie nicht plausibel. Bei der punktweisen Konvergenz ändert sich nichts (warum auch?). Und die gleichmäßige Konvergenz geht im Grunde analog, nur daß du zu einem anderem Resultat kommen müßtest. |
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