Punktweise/gleichmäßige Konvergenz I

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Maria9 Auf diesen Beitrag antworten »
Punktweise/gleichmäßige Konvergenz I
Hallo! Vielleicht kann mir hier jemand sagen, ob ich folgende Aufgabe richtig gelöst habe? Bin mir nämlich bei meiner Lösung ziemlich unsicher...

Für , seien die Funktionen auf (0, 1) definiert wie folgt:







Konvergiert diese Folge von Funktionen punktweise oder sogar gleichmäßig?








Somit wäre die Funktion nicht mal punktweise konvergent.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Punktweise/gleichmäßige Konvergenz
Mal abgesehen davon, daß du für x = 1/n eine doppelte Definition hast, weiß ich, was du mit:
Zitat:
Original von Maria9


sagen willst und warum die Funktion nicht punktweise konvergent sein soll.
Maria9 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen, dass ist, also konvergiert bei gegen .
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Aber wie sieht es nun mit der punktweisen Konvergenz aus?
Maria9 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei punktweiser Konvergenz muss man ja das x festhalten (in diesem Fall kommt x nicht vor) und dann überprüfen, wie die Konvergenz bei ausschaut...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und was ist das Ergebnis deiner Prüfung? Beachte auch, welche Funktionsvorschrift in Abhängigkeit von n zu nehmen ist. smile
 
 
Maria9 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir nicht ganz sicher, mich verwirrt diese Aufgabe total.
Man kann zu einem gegebenem x ein N so wählen kann, dass . Dann müsste ich mit arbeiten, welches bei gegen 0 konvergiert. Also ist die Funktionenfolge doch punktweise konvergent...?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maria9
Man kann zu einem gegebenem x ein N so wählen kann, dass .

Zu ergänzen ist noch, daß die Ungleichung x > 1/n für alle n >= N gilt.

Zitat:
Original von Maria9
Also ist die Funktionenfolge doch punktweise konvergent...?

Korrekt. smile
Maria9 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.


Und wie kann ich überprüfen, ob die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die eigentliche Frage ist: ist überhaupt die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent?
Maria9 Auf diesen Beitrag antworten »

Für gleichmäßige Konvergenz haben wir meistens die Supremumsnorm der Funktionenfolge minus der Grenzfunktion genommen, also in diesem Fall . Soll ich dann für oder nehmen? wäre größer, oder?
Maria9 Auf diesen Beitrag antworten »

Und da gegen konvergiert, wäre die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergent.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maria9
Soll ich dann für oder nehmen?

Die Frage wird durch die Definition der Funktion beantwortet. Für das Supremum ist natürlich der Wert n² die richtige Wahl, da immer ist.
Maria9 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Also kann ich damit begründen, dass die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergent ist?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. smile
Maria9 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile
Maria9 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte eine Teilaufgabe vergessen: man soll noch die Funktionenfolge der Einschränkungen betrachten. Die gleichmäßige Konvergenz würde genauso wie vorher gehen, aber wie kann ich untersuchen, ob es punktweise konvergent ist oder nicht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ähh? Die Frage ist irgendwie nicht plausibel. Bei der punktweisen Konvergenz ändert sich nichts (warum auch?). Und die gleichmäßige Konvergenz geht im Grunde analog, nur daß du zu einem anderem Resultat kommen müßtest.
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