Poisson Verteilung

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Poisson Verteilung
Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe eine kleine Frage zu diskreten Verteilungen. Als Beispiel mal die Poisson Verteilung:

Frage: Was bedeutet es, dass eine Zufallsvariable poissonverteilt ist?


Meine Ideen:


Also mir ist klar, dass für gilt, dass die Zufallsvariable eben verschiedene Werte annehmen kann, also , für

oder müsste ich hier eigentlich sagen: , weil de Wert ja nur bei einer konkreten Realisierung auftritt.

Es gilt jedenfalls:



Wie bringe ich das jetzt mit der mb. Abbildung in Zusammenhang?

, bei der Poisson Verteilung ist . aber was ist . Es muss ja ein Messraum sein. Kann ich einfach nehmen?

Also ich würde die Frage, was bedeutet es, dass eine Zufallsvariable poissonverteilt ist, derzeit so beantworten:

Eine Zufallsvariable ist eine messbare Abbildung. Für gilt:

, wobei und

Nun gilt, dass das Bildmaß unter der messbaren Abbildung (dieses Bildmaß nennt man auch Verteilung) wie folgt gegeben ist:



speziell für eine einelementige Menge haben wir dann:



stimmt das so?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poisson Verteilung
Also:
Die Poisson-Verteilung ist definiert als eine diskrete Verteilung mitr der Zähldichte


Diese ist eben definiert auf - wenn du das als einen Wahrscheinlichkeitsraum betrachten möchtest dann nimmst du eben die Potenzmenge als Sigma-Algebra und berechnest dann die Wahrscheinlichkeit einer Teilmenge als Summe über die Wahrscheinlichkeiten der darin enthaltenen Elemente.

Dass diese Funktion oben auch tatsächlich eine Zähldichte ist sollte auch klar sein, da die Gesamtsumme Eins ergibt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme mal auf die Frage mit den Messräumen zurück: Reellwertige Zufallsgrößen sind ja definiert als messbare Abbildungen



mit Borel-Sigma-Algebra und als Bestandteil des gesamten Wahrscheinlichkeitsraumes .

Die Verteilung von allein sagt so gut wie nichts über die Struktur von aus.

Bei auf diskret verteilte Zufallsgrößen kann man den Bildraum wegen auf verbunden mit Sigma-Algebra beschränken, ja.


Zitat:
Original von steviehawk
oder müsste ich hier eigentlich sagen: , weil de Wert ja nur bei einer konkreten Realisierung auftritt.

Ohne Kenntnisse von kannst du das so nicht sagen, dass es nur ein einziges ist. I.a. würde ich das sogar verneinen, wenn man einen hinreichend großen W-Raum hat, geeignet für mehrere (auch unabhängige) Zufallsgrößen.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank an euch beide. Ich merke irgendwie, dass immer wieder daran scheitere, die Begriffe aus der Maßtheorie, auf die sich ja die moderne W-Theorie stützt richtig auf die Anwendung bei einer konkreten Verteilung zu übertragen.

Ich weiß zu 100%, dass ich in meiner Prüfung genau diese Frage bekomme zu irgendeiner Verteilung. Ich habe jetzt noch mal bisschen nachgelesen und finde die folgende Antwort eigentlich sehr schön. Ich verzichte dabei erstmal auf die Begriffe aus der Maßtheorie, die kann man ja dann auf Nachfrage noch liefern Big Laugh

"Was bedeutet es, dass eine Zufallsvariable poisson-verteilt ist?"

Antwort:

Zunächst ist die Poisson Verteilung eine diskrete Verteilung. Damit ist eine diskrete Zufallsvariable. Diese kann nur endlich viele oder abzählbar viele Werte annehmen (man sagt auch höchstens abzählbar viele) Bei der Poisson Verteilung gilt . Jedem dieser Werte können wir eine Wahrscheinlichkeit zu ordnen, mit welcher die Zufallsvariable diesen Wert annimmt. (bei stetigen Verteilungen ginge das so nicht)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann gegeben durch:

Was meint ihr dazu?

Gleich noch der stetige Fall: "Was bedeutet es, dass eine Zufallsvariable einer Gleichverteilung auf unterliegt?"

Zunächst ist die Gleichverteilung auf eine stetige Verteilung. Die Zufallsvariable kann also überabzählbar viele Werte annehmen. Für jeden einzelnen Punkt ist die Wahrscheinlichkeit Null. Daher beschreibt man stetige Verteilungen durch eine Verteilungsfunktion und die dazugehörige Dichte. Für die stetige Gleichverteilung erhalten wir:

Verteilungsfunktion für , wobei die zugehörige Dichte ist.

Also ich bin der Meinung, dass das zunächst mal 2 souveräne Antworten sind. Was meint ihr?
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Fehler:

Zitat:
Verteilungsfunktion für , wobei die zugehörige Dichte ist.


Auch gilt die Formel auch für .

Gruß
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

ah danke, klar da muss ein x stehen smile
 
 
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