Fragen zu Folgenkonvergenz

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X3nion Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zu Folgenkonvergenz
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu zwei Aufgaben und würde mich über eure Antworten sehr freuen! smile

1. Es soll mithilfe der Definition der Konvergenz gezeigt werden:


2. Man überlege, ob diese Aussage wahr oder falsch ist: Aus folgt: ist konvergent.

3. Man überlege, ob diese Aussage wahr oder falsch ist: Falls eine nach oben beschränkte Folge ist und erst ab einem Index monoton wächst (also es gibt mindestens ein , sodass ), dann konvergiert die Folge.

4. Für komplexe Zahlenfolgen mit gilt: konvergiert mit .

Meine Ideen:
Zu 1: Mein Beweis schaut bisher wie folgt aus:

Es sei eine gegen konvergente Folge. Dann gibt es zu jedem epsilon > 0 ein , sodass für alle gilt:

.

Dann ist gemäß der Dreiecksungleichung:

.

Da im Beweis der Grenzwert 0 angenommen worden ist, konvergiert gegen 0 und ist somit eine Nullfolge.


Zu 2. Diese Aussage ist i.A. falsch, denn es fehlt der Bezug zum betrachteten Raum. Man betrachte die Heron-Folge rationaler Zahlen, welche eine Cauchyfolge ist (und somit der Abstand aufeinanderfolgender Glieder gegen 0 geht für ), allerdings ist sie in Q nicht konvergent.

Zu 3: Korrekt, dann konvergiert die Folge halt erst ab .

Zu 4. Hier weiß ich nicht genau was gemeint ist. Könnt ihr mir einen Ratschlag geben?


Viele Grüße und mich für eure Antworten bedankend,

Christian

EDIT(Helferlein): Zahlreiche Latex-Klammern eingefügt
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

dein erster Beweis ist im Prinzip richtig, nur ist mir nicht ganz klar, was du hiermit ausdrücken möchtest:

Zitat:
Da im Beweis der Grenzwert 0 angenommen worden ist, konvergiert gegen 0 und ist somit eine Nullfolge.


Wenn du den Bezug zum Grenzwert andeuten willst, dann müsste dort stehen, denn letzteres müsstest du ja eigentlich ganz nach Definition für die Konvergenz nach oben gegen abschätzen.

Deine Antwort zu 2 ist richtig und eigentlich auch deine Begründung dazu, sie trifft aber nicht den Kern der Problematik, die mit dieser Aufgabe behandelt werden soll. Ich würde annehmen, man soll hier davon ausgehen, dass es um Folgen in geht und dort konvergiert ja jede Cauchyfolge. Ich denke, es geht bei der Aufgabe darum, dass es sogar Folgen gibt, die erfüllen, aber keine Cauchyfolgen sind. Vielleicht fällt dir dazu ja auch noch ein Beispiel ein Augenzwinkern

Zu 3: Deine Antwort ist richtig, die Begründung aber nicht. Was soll es denn bedeuten, wenn eine Folge erst ab konvergiert? So etwas ist in der Definition der Konvergenz nicht vorgesehen, eine Folge konvergiert oder eben nicht. Es gibt nicht soetwas wie: die Folge konvergiert ab . Überlege dir einen formalen Beweis, wieso das dir bekannte Kriterium zu monotonen Folgen sich auf diese Weise verallgemeinern lässt.

Zu 4: Es geht hier darum, sich zu überlegen, ob eine komplexe Folge, deren Beträge konvergieren, bereits selbst konvergent sein muss. Um das zu widerlegen, braucht man nicht nach zu schauen, es reichen reelle Folgen. Du findest doch bestimmt eine reelle Folge, die nicht konvergiert, obwohl es ihr Betrag tut oder?
X3nion Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Guppi12, vielen Dank für deine Antworten! smile

1. Okay dann freue ich mich, aber wie meintest du "nach oben gegen " abschätzen?

2. Hmm ich dachte bei der Aufgabe, die Bedingung = 0 wäre gerade eine Cauchyfolge, da ja bei einer Cauchyfolge die Differenz der Folgenglieder für alle n, m > eine Nullfolge bildet, wobei in Abhängigkeit von epsilon gewählt ist und epsilon wiederum alle reellen Zahlen >0 annimmt.
Wieso ist die Bedingung = 0 nicht dasselbe?

Dazu fällt mir auf jeden Fall kein Beispiel ein leider unglücklich

3. Ich stehe hier ebenso auf dem Schlauch. Kannst du mir auf die Sprünge helfen, was du mit der Monotonie und "auf diese Weise verallgemeinern" meinst? Bedeutet es denn vielleicht, dass für die Konvergenz wichtig ist, dass die Monotonieeigenschaft sich ändern darf, aber sich ab einem beliebigen Zeitpunkt nicht mehr ändern darf sondern gleich bleiben muss, sodass die Folge konvergiert?


4. Wieso reicht es denn, dass man das ganze auf den Körper verschiebt? Weil etwa die komplexen Zahlen die reellen Zahlen beinhaltet und ein Gegenbeispiel ausreicht? Denn wenn die Aussage für die komplexen Zahlen gilt, so müsste sie ja auch für die reellen / rationalen / ganzen / natürlichen Zahlen gelten oder?
Reellwertig würde mir jetzt die Folge einfallen. Diese springt ja zwischen -1 und 1 her und ist somit nicht konvergent (da Grenzwert nicht eindeutig), aber sie besitzt 2 Häufungspunkte. Der Betrag von wäre ja = = = 1. Somit würde ja die Folge betragsweise konvergieren, nämlich gegen 1.
Wäre das so richtig?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
aber wie meintest du "nach oben gegen " abschätzen?


Man sagt, man schätzt gegen nach oben ab, wenn man zeigen kann.

Nach Definition der Konvergenz müsstest du ja eigentlich (nach Wahl von usw.) zeigen, also diesen Ausdruck nach oben gegen abschätzen nach obiger Sprechweise.

Das besondere bei einer Cauchyfolge ist, dass der Abstand von beliebig groß sein darf, wenn sie nur größer als sind. Dass das wichtig ist, soll diese Aufgabe eben zeigen. Es reicht nicht, wenn nur der Abstand aufeinanderfolgender Folgengleider gegen konvergiert. Kennst du dich schon ein wenig mit Reihen aus? Falls ja, schau dir mal als Folgen Partialsummenfolgen von Reihen an und überlege, ob du da eine Reihe findest, die nicht konvergiert (deren Partialsummenfolge also auch keine Cauchyfolge sein kann), für die aber obiger Limes gleich Null ist.

Für 3. schau dir doch mal die Folge an, zeige, dass die konvergiert und zeige dann mit Hilfe dieser Zwischenbehauptung ganz formal nach Definition, dass dann auch die ursprüngliche Folge konvergiert.

Zitat:
Denn wenn die Aussage für die komplexen Zahlen gilt, so müsste sie ja auch für die reellen / rationalen / ganzen / natürlichen Zahlen gelten oder?

Das ist nicht ganz richtig. Es könnte zum Beispiel sein, dass es in den komplexen Zahlen Gegenbeispiele gibt, die aber alle Folgen sind, die keine reellen Folgen sind. Daher könnte es durchaus nötig sein, komplexe Folgen zu betrachten. Hier habe ich dir jetzt einfach den Tipp gegeben, dass es bereits in den reellen Zahlen Gegenbeispiele gibt. Da jede reelle Folge auch als komplexe Folge aufgefasst werden kann, reicht das dann als Gegenbeispiel aus. Dein Beispiel ist richtig und das kannst du ja nun auch als komplexe Folge betrachten.

Dazu noch etwas Anschauung im Komplexen:
Im Komplexen bedeutet die Konvergenz der Betragfolge ja nur, dass die Folge der Kreisradien, auf denen sich die Folgenglieder befinden, konvergieren. Auf diesen Kreisen können die Folgenglieder aber beliebig hin und her springen.
X3nion Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zu später Stunde!

Okay, aber wie ist das, wäre das in diesem Fall insgesamt nicht dasselbe wenn ich die 0 weglassen würde? Weil ob man die 0 schreibt oder nicht ist ja eigentlich egal, oder nicht? Oder muss hier die 0 geschrieben werden zur Verdeutlichung des Grenzwertes "null" ? Und Ändert es an meinem Beweis etwas, wenn ich die 0 dazuschreibe?



Ah ich habe verstanden, bei der Cauchyfolge betrachte ich ja alle Folgenglieder mit n, m größer als , bei dieser Behauptung lediglich die aufeinanderfolgenden Glieder. Hmm wie wäre es denn mit der harmonischen Reihe als Folge aufgefasst, also ?
Hier ist ja a1 = 1, a2 = 1 + 1/2, a3 = 1 + 1/2 + 1/3, a4 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4, ...
und .

Somit ist ja eine Nullfolge und der lim von für n -> wäre ja 0. Allerdings divergiert ja bekanntlich die harmonische Reihe, da ich die einzelnen Glieder jeweils durch 1/2 abschätzen kann. So ist

||| 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ...
1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + ...
= 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ....


Kann ich als Ansatz nehmen. ist nach oben beschränkt und monoton wachsend -> ist konvergent.
Da konvergiert, gibt es zu jedem epsilon >0 ein n(epsilon), sodass für alle n größer oder gleich n(epsilon) gilt.
epsilon ? Aber dann wüsste ich nicht, wie ich weitermachen soll.

Zu 4. Okay ja da hast du recht, daran hätte ich jetzt nicht gedacht. Aber in meinem Fall ist das ja ausreichend smile
DieLösung Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 2) finde ich folgende Betrachtung interessant: Aus jeder divergenten Folge lässt sich sogar durch passende Wahl der Folgenglieder eine Folge konstruieren, so dass auch diese divergiert, aber sogar gilt.
 
 
DieLösung Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry war Quatsch ... Wäre aber schön gewesen ... Augenzwinkern unglücklich
X3nion Auf diesen Beitrag antworten »

Brauchst wieder deinen Kaffee um wach zu werden, DieLösung? Prost
Kleines Späßle! smile
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Beispiel zu 2 ist jetzt richtig.

Zitat:
Okay, aber wie ist das, wäre das in diesem Fall insgesamt nicht dasselbe wenn ich die 0 weglassen würde?


Doch, selbstverständlich, aber du hast ja selbst in deinem ersten Beitrag in der Klammer noch mal den Term hingeschrieben, vermutlich, um nochmal direkt Bezug auf die Definition der Konvergenz zu nehmen. Deswegen habe ich dich darauf hingewiesen, dass das für diesen Zweck der falsche Term ist, den du da angeführt hast. Welcher der richtige ist, habe ich dir hingeschrieben.

Zu 3.

Du weißt doch, wie man formal die Konvergenz einer Folge nachweist: Man nimmt sich beliebig her, wählt dann (der Variablenname ist hier ja schon vergeben) und zeigt, dass für gilt... ok?

Das kannst du jetzt für deine Folge machen und dabei wird dann irgendwo einfließen, dass du die Konvergenz der verschobenen Folge gerade gezeigt hast.
X3nion Auf diesen Beitrag antworten »

Einen schönen Sonntag!

Einen schönen Sonntag!

ah okay, also muss der Term in Betragstriche, da bei der Grenzwertbetrachtung die Differemz der Folgenglieder auch in Betragstrichen ist?


Zu 3. Hmm ist es denn nicht richtig wie ich angefangen habe mit der Definition?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Dir auch einen schönen Sonntag.

In der Definition der Konvergenz einer Folge mit Grenzwert betrachtet man doch . Wenn man jetzt für erstmal einsetzt, denn um diese Folge geht es ja, steht dort . Wenn man dann noch für die Null einsetzt, steht genau das dort, was ich auch oben geschrieben habe, alles keine Hexerei, nur Einsetzen der Definition Augenzwinkern

Zitat:
Zu 3. Hmm ist es denn nicht richtig wie ich angefangen habe mit der Definition?

Du hast zunächst das Kriterium benutzt, um zu zeigen, dass die verschobene Folge konvergiert, soweit richtig. Jetzt allerdings dröselst du die Konvergenz der verschobenen Folge in die Definition auf (das braucht man auch, aber erst später), stattdessen sollst du aber die Konvergenz der nichtverschobenen Folge beweisen. Du fängst also so an:

Sei (denn so fängt jeder einzelnde Folgekonvergenzbeweis nach Definition an, hast du das noch nie gemacht?). Dann kannst du zu diesem ein finden, wie du es oben getan hast. Damit konstruierst du jetzt ein , mit dem du die Konvergenz der ursprünglichen Folge zeigst.
X3nion Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! smile


alles klar, das habe ich jetzt dann verstanden, die Folge steht ja in Betragstrichen Augenzwinkern


Zu 3.

Ich hätte es jetzt so gemacht: Ich habe ja gezeigt, dass konvergiert.
Somit gibt es zu jedem > 0 ein , sodass für alle n gilt: .

(Ich wähle einmal , da es eventuell darauf hinauslaufen wird, dass man zwei Teile der Dreiecksungleichung addieren wird, also + , so wie bei Aufgabe 1. ganz oben wo ich aus der Konvergenz bewiesen habe, dass der Abstand aufeinanderfolgender Glieder eine Nullfolge ergibt.

Dann ist:

.
Nun: Für den zweiten Teil hätte ich ja eine Abschätzung, allerdings nicht für
Muss ich es also anders angehen? Bei Beweisen bin ich eher ein Frischling um ehrlich zu sein geschockt
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dir oben eine Anleitung inklusive einem möglichen Beweisanfang gegeben, versuch doch mal, die umzusetzen.

Schreib dir vielleicht auch mal auf, was du haben willst. Wenn es dir nicht einfällt, überlege noch etwas länger darüber, das kann nie schaden. Viel mehr an Tipps kann ich dir dazu nicht geben, ohne den Beweis hinzuschreiben.
X3nion Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm zeigen möchte ich ja schlussendlich: Für jedes gibt es ein sodass für alle gilt:
Ist das richtig?

Nun weiß ich ja folgendes: Für jedes gibt es ein sodass für alle gilt:

Ist es eventuell so, dass ich nun so wähle, dass es das maximum von und ?
Also

Somit hätte ich ja folgendes:
Für alle n gilt: .
Dann wäre auf jeden Fall und . Die Konvergenzeigenschaft wäre doch somit legitim, da ich ja durch die Wahl von quasi die Konvergenz der Folge betrachte. Wäre dies so korrekt?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht schon in die richtige Richtung, passt aber noch nicht ganz.

Warum gilt denn für ?

Beispiel: Wir nehmen mal an, dass . Dann ist .
Wir haben also für . Das gilt also zum Beispiel für nicht unbedingt, wir können es erst ab garantieren.
X3nion Auf diesen Beitrag antworten »

ach du liebe Güte, ja klar ... muss ich dann also wählen, um dies zu garantieren?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Sag du es mir. Bei einem Beweis sollte es keine Zweifel geben.
X3nion Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche es, vielleicht ist es mathematisch nicht ganz korrekt ausgedrückt!

Also ich möchte ja prinzipiell versuchen, die Konvergenz der Folge auf die Konvergenz der Folge zurückführen, von der ich ja schon weiß, dass sie konvergiert.
Ich kann ja per definitionem zu jedem ein finden, sodass für alle gilt:
.

Die Sache hat jedoch einen kleinen Haken, nämlich dass ich die Konvergenz nur für die Folge gezeigt habe. Somit "verschiebe" ich quasi alles weiter nach rechts um das besagte , um quasi das Problem auf die Konvergenz der Folge zurückzuführen.

Auch könnte ich ja sagen:

<-> .
Also bedeutet ein dazuaddieren von automatisch auch ein dazuaddieren von selbigem zu
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich kann ja per definitionem zu jedem ein finden, sodass für alle gilt: .


Ich glaube du meinst hier das richtige, aber es ist seltsam ausgedrückt. Du meinst wohl, dass du nach Definition zeigen musst, dass es zu ein gibt mit... Es liest sich aber so, als wäre das nach Definition bereits gegeben, was ja falsch ist.

Das, was dahinter steht, ist ja alles richtig, du musst es nur noch im beweisstil aufschreiben.
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