Integralformel von Cauchy

10.10.2015, 10:47

yellowman

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Integralformel von Cauchy

Hallo miteinander ich habe die Aufgabe:

Sei C ein gegen den Uhrzeigersinn durchlaufender Kreis gegeben durch $\begin{eqnarray*} |z-1|=10 \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie

$\begin{eqnarray*} \oint_Cdz\frac{z^2}{(z-2)(z+6)} \end{eqnarray*}$ mittels der Cauchy Integralformel.

Die Integralformel lautet $\begin{eqnarray*} \oint_Cdz\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}=\frac{f^n(z_0)\cdot 2\pi i}{n!} \end{eqnarray*}$

Beide Polstellen befinden sich in dem Gebiet C. Muss ich hier eine Partialbruchzerlegung durchführen oder wie mache ich das wenn beide Polstellen sich in dem Gebiet befinden?

10.10.2015, 10:54

bijektion

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Zitat:

Beide Polstellen befinden sich in dem Gebiet C. Muss ich hier eine Partialbruchzerlegung durchführen oder wie mache ich das wenn beide Polstellen sich in dem Gebiet befinden?

Genau das machst du.

10.10.2015, 11:16

yellowman

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Da Zählergrad und Nennergrad gleich sind musste ich erstmal eine Polynomdivision durchführen. Da komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{z^2}{(z-2)(z+6)}=1+\frac{4(3-z)}{(z-2)(z+6)} \end{eqnarray*}$

Mit der Partialbruchzerlegung erhalte ich dann: $\begin{eqnarray*} \frac{z^2}{(z-2)(z+6)}=1+\frac{1}{2(z-2)}-\frac{7}{z+6} \end{eqnarray*}$

Kannst du meine Umformungen bestätigen so das ich mich an die Auswertung machen kann?

Der zweite und dritte Ausdruck lässt sich mit der Cauchy Formel berechnen. Was ist allerdings mit der 1 bleibt die einfach stehen? verwirrt

verwirrt

10.10.2015, 11:29

bijektion

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Ich komme auf $\begin{eqnarray*} \frac{z^2}{(z-2)(z+6)}=1+\frac{1}{2(z-2)}-\frac{9}{2(z+6)} \end{eqnarray*}$ .

Ja, die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bleibt stehen, allerdings ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} z\mapsto 1 \end{eqnarray*}$ holomorph.

10.10.2015, 11:40

yellowman

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Ich jetzt auch. Die 1 bleibt stehen weil sie in dem Gebiet liegt und damit also komplexe Funktion analytisch ist?

$\begin{eqnarray*} \oint_Cdz\frac{z^2}{(z-2)(z+6)}=1+\oint\frac{1}{z-2}dz-\frac{9}{2}\oint\frac{1}{z+6}dz=1+\frac{1}{2}\cdot 2\pi i-\frac{9}{2}\cdot 2\pi i=1-8\pi i \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

10.10.2015, 11:52

bijektion

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Nein. Die Kurve ist geschlossen und die Funktion ist holomorph... Was folgt dann?

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10.10.2015, 11:59

yellowman

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Dann gilt nach dem Satz von Cauchy das die Funktion Null ist. Dann müsste das Ergebnis $\begin{eqnarray*} =-8\pi i \end{eqnarray*}$ lauten?

10.10.2015, 12:39

bijektion

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Ja.

10.10.2015, 13:18

Iorek

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Alternativ könnte man die Verallgemeinerung der Integralformel auf Zykel verwenden (sofern diese bekannt ist). Damit würde man sich die Partialbruchzerlegung sparen. smile

smile

10.10.2015, 14:11

yellowman

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Danke für die Hilfe und bis zum nächsten mal. Wink

Wink

10.10.2015, 14:21

yellowman

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Ich hätte da doch noch eine Frage. Wenn sich einer der beiden Polstellen auf dem Rand des Gebietes C befindet liegt gehört dann dieser Punkt zu dem Gebiet oder nicht mehr?

Wenn er nicht mehr dazu gehört wäre dieser Null?

10.10.2015, 14:45

Iorek

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Kannst du die Frage präzisieren? Meinst du mit Gebiet den Integrationsweg? In diesem Fall wäre das Integral nämlich nicht wohldefiniert.

10.10.2015, 14:49

yellowman

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Ich meine zum Beispiel ich habe die Kurve C $\begin{eqnarray*} |z|=4 \end{eqnarray*}$ und ich soll das Integral $\begin{eqnarray*} \oint\frac{1}{z-4}dz \end{eqnarray*}$ berechnen. Nun liegt der Pol auf dem Rand der Kurve C die das Gebiet einschließt. Kann ich davon das Integral auswerten oder gehört die Polstelle nicht zu dem Gebiet so dass das Integral nach dem Satz von Cauchy Null ist?

10.10.2015, 14:57

Iorek

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Zitat:

Original von yellowman
Nun liegt der Pol auf dem Rand der Kurve C die das Gebiet einschließt.

Bisher hast du noch von keinem Gebiet geredet, diese Aussage ist also zumindest formal gesehen falsch. Das Gebiet $\begin{align*} D \end{align*}$ bezieht sich auf den Definitionsbereich der Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ , auf welche du den Integralsatz bzw. die Integralformel anwenden willst.

Und wie in meinem vorherigen Beitrag vermutet: in diesem Fall ist das Integral gar nicht wohldefiniert, da der Integrand auf dem Bild der Kurve nicht stetig ist.

10.10.2015, 14:59

RavenOnJ

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Zitat:

Original von yellowman
Dann gilt nach dem Satz von Cauchy das die Funktion Null ist.

Nicht die Funktion ist Null, sondern das Integral über die Funktion.

10.10.2015, 15:01

yellowman

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Das heißt also ich kann das Integral garnicht auswerten?

10.10.2015, 17:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von yellowman
Das heißt also ich kann das Integral garnicht auswerten?

Erstaunt1

Seit wann bedeutet denn Integralwert Null die Schlußfolgerung "nicht auswerten können" ?

10.10.2015, 17:58

yellowman

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von yellowman
Das heißt also ich kann das Integral garnicht auswerten?

Erstaunt1

Seit wann bedeutet denn Integralwert Null die Schlußfolgerung "nicht auswerten können" ?

Ok also erhält man bei dieser Aufgabe:
Kurve C $\begin{eqnarray*} |z|=4 \end{eqnarray*}$ und Integral $\begin{eqnarray*} \oint\frac{1}{z-4}dz=0 \end{eqnarray*}$

Das müsste so stimmen?!

10.10.2015, 18:24

HAL 9000

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Ok, Missverständnis: Ich hatte nur den Beitrag von RavenOnJ 14:59 (der sich auf deinen 11:59 bezieht) gelesen und gedacht, dein Beitrag 15:01 bezieht sich darauf!

Wenn es dagegen um deine Frage 14:49 geht: Dieses Integral mit Polstelle auf der zu integrierenden Kurve ist undefiniert.

10.10.2015, 19:17

yellowman

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Ist dieses Integral immer undefiniert auch wenn ich das Integral $\begin{eqnarray*} \oint\frac{1}{(z-1)(z-2)(z-4)}dz \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|=4 \end{eqnarray*}$ berechnen möchte? Hier könnte ich eine Partialbruchzerlegung durchführen und das Integral in drei Integrale aufteilen von denen 2 Pole in dem Gebiet liegen das durch $\begin{eqnarray*} |z|=4 \end{eqnarray*}$ umschlossen wird. Das Problem tritt dann wieder bei der Polstelle $\begin{eqnarray*} z=4 \end{eqnarray*}$ auf. Ist dann das komplette Integral undefiniert und schreibt man dann einfach Integral ist undefiniert oder wie?

10.10.2015, 21:24

Iorek

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Sieh dir bitte einmal die Voraussetzungen an, die für ein solches Kurvenintegral gegeben sein müssen. Ist $\begin{align*} \gamma:[a,b]\rightarrow\mathbb C \end{align*}$ die gegebene Kurve, so fordert man in der Regel, dass der Integrand stetig auf $\begin{align*} \operatorname{Sp}(\gamma)=\{\gamma(t)~|~t\in[a,b]\} \end{align*}$ sein muss. Ist das hier der Fall?

10.10.2015, 21:42

yellowman

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Ich würde sagen der Integrand ist nicht stetig auf der Kurve da es eben die besagte Polstelle gibt die sich auf der Kurve befindet. Also müsste das Integral auch nicht existieren.

In einer Prüfung schreibt man dann einfach das Integral existiert nicht und ist mit der Aufgabe fertig?

10.10.2015, 21:44

Iorek

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Ja, der Ausdruck ist nicht wohldefiniert. Somit ist nichts weiter zu machen.

10.10.2015, 22:01

yellowman

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Ok, dankeschön für eure Hilfe

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