Konvergenz von Funktionenfolgen

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10.10.2015, 15:31	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Funktionenfolgen Hallo! Das neue Semester hat begonnen und ich habe schon wieder Fragen zu folgender Aufgabe: Untersuchen Sie folgende Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz: (a) $\begin{align} f_n: [-1,1] \rightarrow \mathbb{R},\ f_n(x)=x^n(x^{2n}-1) \end{align}$ (b) $\begin{align} f_n: [0,\alpha] \rightarrow \mathbb{R},\ 0<\alpha <1,\ f_n(x)=x^n(x^{2n}-1) \end{align}$ Punktweise konvergieren beide Funktionen in ihrem Definitionsbereich gegen die Grenzfunktion $\begin{align} f(x)=0 \end{align}$ . Bezüglich der gleichmäßigen Konvergenz vermute ich aufgrund der Aufgabenstellung, dass (a) nicht konvergiert und (b) schon. Für die Funktion aus (b) habe ich das folgendermaßen gezeigt: $\begin{align} \left\|f_n(x)-f(x)\right\|=\left\|x^{n}(x^{2n}-1)-0\right\| = x^n\cdot \left\|x^{2n}-1\right\| \leq x^n \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0 \end{align}$ . Die Abschätzung gilt für $\begin{align} x \in [0,\alpha] \end{align}$ . Wie zeige bzw. widerlege ich es für (a)? Hab ein wenig herumprobiert, jedoch bin ich mit keinem Kriterium zu einer Lösung gekommen... Hätte jemand einen Tipp?
10.10.2015, 15:43	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Funktionenfolgen Stimmt soweit, und du hast recht mit deiner Vermutung, dass a) nicht gleichmäßig konvergiert. Um das zu zeigen, such dir eine Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ s.d. $\begin{eqnarray} f_n(x_n) \not\to 0 \end{eqnarray}$ gilt. Aus der (b) folgt, dass wenn es so eine Folge gibt, dann zwangsläufig 1 bzw. -1 ein Häufungspunkt ist, d.h. man effektiv konstruiert man eine Folge mit $\begin{eqnarray} x_n \to 1 \end{eqnarray}$ .
10.10.2015, 15:50	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Funktionenfolgen Danke erstmal für deinen Kommentar! Die Folge muss im Definitionsbereich von $\begin{align} f_n \end{align}$ liegen, richtig? Und wenn ich nun so eine Folge gefunden habe, was genau sagt mir das dann? Sehe noch nicht wirklich, wohin der Weg führt...
10.10.2015, 15:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Funktionenfolgen Die Existenz der Folge ist äquvialent zur nicht-gleichenmäßigen Konvergenz. Das folgt aus $\begin{eqnarray} \sup_{y \in [-1,1]} \| f_n(y) - f(y) \| = \sup_{y \in [-1,1]} f_n(y) \geq f_n(x_n) \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} x_n \in [-1,1] \end{eqnarray}$ . D.h. wenn der rechte Term nicht gegen 0 konvergiert, tut der linke es auch nicht.
10.10.2015, 16:12	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Funktionenfolgen Gut, alles klar soweit. Hab's nun mit der Folge $\begin{align} x_n = 1-\frac{1}{n} \end{align}$ versucht, mit der es auch zu funktionieren scheint, laut WolframAlpha konvergiert $\begin{align} f_n(x_n) \end{align}$ gegen $\begin{align} \frac{1}{e^3} - \frac{1}{e} \end{align}$ . Doch diese Konvergenz schein nicht sehr einfach zu zeigen zu sein. Gibt es denn Folgen, mit denen es leichter geht?
10.10.2015, 16:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Funktionenfolgen Versuche mal etwas mit der n-ten Wurzel zu bauen. Alternativ: Kurvendiskussion von $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ und finde heraus, wo das Maximum ist -- so kann man auch eine bauen. Edit: Und $\begin{eqnarray} f_n(x)=x^n(x^{2n}-1) = x^{3n} - x^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_n = 1 - \frac 1 n \end{eqnarray}$ ergibt sich $\begin{eqnarray} f_n(x_n) = \left ( 1 - \frac 1 n \right)^{3n} - \left ( 1 - \frac 1 n \right)^{n} \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} e^x = \lim_{n \to \infty} \left ( 1 + \frac x n\right)^n \end{eqnarray}$ ist es nicht wirklich so schwer zu zeigen (wenigstens wenn man letzteres weiß.)
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10.10.2015, 16:36	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Funktionenfolgen Das Extremum sollte sein an der Stelle $\begin{align} x = 3^{-\frac{1}{2n}} \end{align}$ . Somit folgt: $\begin{align} \sup_{x \in [-1,1]} \left\| f_n(x) \right\| = \left\| f_n\left(3^{-\frac{1}{2n}}\right) \right\| = \left\|-\frac{2\cdot\sqrt{3}}{9} \right\| = \frac{2\cdot\sqrt{3}}{9} \nrightarrow 0 \end{align}$ . Korrekt?
10.10.2015, 16:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Funktionenfolgen Sieht plausibel aus, auch wenn ich das Maximum/Minimum nicht explizit berechnet habe. Ein einfaches Beispiel wäre z.b. $\begin{eqnarray} x_n = \sqrt[n]{ \frac 1 2} \end{eqnarray}$ gewesen.
10.10.2015, 16:43	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Funktionenfolgen Super, vielen Dank für deine Hilfe!
10.10.2015, 16:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Funktionenfolgen Gerne

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