Rechenregeln Funktionen Mengen

11.10.2015, 08:44

myrmos

Rechenregeln Funktionen Mengen

Ich soll beweisen, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A\cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass auf Grund der Injektivität der Inversen Funktion, dass es nur ein Urbild gibt und es Deshalb egal ist, ob ich x oder y vergleiche. Ich weiß nur nicht, wie ich das zeigen kann.

11.10.2015, 09:19

Iorek

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Bevor du dich an einem Beweis versuchst, solltest du entweder die gesamte Aufgabe aufschreiben mit allen Voraussetzungen, oder dir die Bedeutung von $\begin{align*} f^{-1} \end{align*}$ klar machen. Ich behaupte einfach mal, dass in der Aufgabe nicht "Sei $\begin{align*} f \end{align*}$ bijektiv" steht und somit gar keine zu $\begin{align*} f \end{align*}$ inverse Funktion existiert, oder?

11.10.2015, 09:26

myrmos

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sei $\begin{eqnarray*} f: X\rightarrow Y \end{eqnarray*}$ eine Funktion und seien $\begin{eqnarray*} C,D\subseteq Y \end{eqnarray*}$ beweisen sie: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A\cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ Du hast recht, da hab ich einen Denkfehler gemacht. Trotzdem ist mir immer noch nicht ganz klar, wie ich das beweisen soll

11.10.2015, 09:30

Iorek

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Es ist eine Mengengleichheit zu zeigen, d.h. du musst zeigen: $\begin{align*} x\in f^{-1}(A\cup B) \Leftrightarrow x\in\left(f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)\right) \end{align*}$ .

Wenn einem überhaupt nichts einfällt, kann das Einsetzen/Verwenden der Definition ein guter, erster Schritt sein. Was bedeutet $\begin{align*} x\in f^{-1}(A\cup B) \end{align*}$ nach Definition des Urbilds? Was kann man dann weiter umformen?

11.10.2015, 09:43

myrmos

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Das wäre mein Versuch:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(A\cup B) = \{x\in X|f(x)\in (A\cup B)\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \{x\in X|f(x)\in A\cup f(x)\in B\} \end{eqnarray*}$
und das ist äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B) = \{x\in X|f(x)\in A\cup f(x)\in B\} \end{eqnarray*}$

11.10.2015, 09:52

Iorek

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Zitat:

Original von myrmos
und das ist äquivalent zu

Nur Aussagen können äquivalent sein, "äquivalente Mengen" gibt es nicht, höchstens gleiche Mengen. Außerdem sind die Vereinigungssymbole teils falsch gesetzt, $\begin{align*} f(x)\in A\cup f(x)\in B \end{align*}$ ergibt keinen Sinn.

Und von der grundsätzlichen Idee ist das richtig, es fehlt jetzt nur noch der formale Schliff. Setze z.B. so an:

Für $\begin{align*} x\in X \end{align*}$ gilt:
$\begin{align*} x\in f^{-1}(A\cup B) \Leftrightarrow f(x)\in A\cup B \Leftrightarrow f(x)\in A\vee f(x)\in B\Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B) \end{align*}$

(Warum fange ich hier mit $\begin{align*} x\in X \end{align*}$ an?)

11.10.2015, 10:08

myrmos

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Ich bin mir nur nicht ganz sicher, ob ich das so darf

$\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(A\cup B) \Leftrightarrow f(x)\in A\cup B \Leftrightarrow f(x)\in A\vee f(x)\in B\Leftrightarrow f^{-1}(f(x))\in f^{-1}(A) \vee f^{-1}(f(x))\in f^{-1}(B) \Leftrightarrow x\in f^{-1}(A) \vee x\in f^{-1}(B) \Leftrightarrow x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$

bezüglich der $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ bin ich mir auch nicht ganz sicher. Ich glaube, du sagst, dass jede der folgenden Aussagen die gewünschten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ beschreibt

11.10.2015, 10:33

Iorek

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Zitat:

Original von myrmos
$\begin{eqnarray*} f(x)\in A\vee f(x)\in B\Leftrightarrow f^{-1}(f(x))\in f^{-1}(A) \vee f^{-1}(f(x))\in f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$

Diese Umformung brauchst du gar nicht. Wenn $\begin{align*} f(x)\in A \end{align*}$ ist, dann ist nach Definition des Urbilds schon $\begin{align*} x\in f^{-1}(A) \end{align*}$ . Du kannst also direkt sagen: $\begin{align*} f(x)\in A \vee f(x)\in (B) \Leftrightarrow x\in f^{-1}(A)\vee f^{-1}(B) \end{align*}$ . Ansonsten passt die Argumentation so. Freude

Zitat:

Original von myrmos
bezüglich der $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ bin ich mir auch nicht ganz sicher. Ich glaube, du sagst, dass jede der folgenden Aussagen die gewünschten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ beschreibt

Du musst zu Beginn festlegen, wo das $\begin{align*} x \end{align*}$ überhaupt herkommt. Wir wollen eine Aussage über $\begin{align*} f^{-1}(A\cup B) \end{align*}$ , also eine Urbildmenge machen. Das Urbild finden wir im Definitionsbereich, also in der Menge $\begin{align*} X \end{align*}$ , damit betrachten wir also $\begin{align*} x\in X \end{align*}$ .

Das ist eine Möglichkeit, das $\begin{align*} x \end{align*}$ festzulegen. Man könnte auch direkt anfangen mit "Sei $\begin{align*} x\in f^{-1}(A\cup B) \end{align*}$ , dann gilt...". Damit verwenden wir auch implizit, dass $\begin{align*} x\in X \end{align*}$ ist. Ob man nun die eine oder die andere Möglichkeit verwendet, ist nicht wirklich relevant, wichtig ist aber, dass man sich klar ausdrück (in diesem Fall eben, was das betrachtete $\begin{align*} x \end{align*}$ überhaupt sein soll).

11.10.2015, 10:37

myrmos

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Verstanden
Vielen Dank für deine großartige Hilfe

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