Funktion nach x und y ableiten

11.10.2015, 15:47

Rivago

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Funktion nach x und y ableiten

Wink

$\begin{eqnarray*} z(x,y) = \sqrt{x^2 - 2xy} \end{eqnarray*}$

Ich möchte nun $\begin{eqnarray*} z_{xx} \end{eqnarray*}$ haben und bin zu $\begin{eqnarray*} z_{xx} = \frac{\sqrt{x^2 - 2xy} - (x - y)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2xy}}}{x^2 - 2xy} \end{eqnarray*}$ gekommen.

Wie kann ich das jetzt noch weiter vereinfachen?

11.10.2015, 16:29

Mathema

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Schreibe die Differenz im Zähler auf einem Bruchstrich - erweitere also.

Wink

Wink

12.10.2015, 21:40

Rivago

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RE: Funktion nach x und y ableiten
Meinst du so?

$\begin{eqnarray*} z_{xx} = \frac{\frac{\sqrt{x^2 - 2xy} - (x - y)^2}{\sqrt{x^2 - 2xy}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2xy}}}{x^2 - 2xy} \end{eqnarray*}$

12.10.2015, 21:51

Mathema

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Es gilt immer noch Punkt- vor Strichrechnung. Und erweitert hast du auch nicht. Da musst du wohl noch mal ran.

14.10.2015, 13:33

Rivago

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Ich weiß ja auch nicht mit was ich erweitern soll verwirrt

verwirrt

14.10.2015, 13:55

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} z_{xx} = \frac{\sqrt{x^2 - 2xy} - (x - y)^2 \cdot \frac{1}{\textcolor{red}{\sqrt{x^2 - 2xy}}}}{x^2 - 2xy} \end{eqnarray*}$

Wie wäre es damit?

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\sqrt{x^2 - 2xy} \cdot \sqrt{x^2 - 2xy} -(x-y)^2}{\sqrt{x^2 - 2xy}}}{x^2 - 2xy}=... \end{eqnarray*}$

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15.10.2015, 18:52

Rivago

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$\begin{eqnarray*} = \frac{\frac{x^2 - 2xy - (x^2 - 2xy + y^2)}{\sqrt{x^2 - 2xy}}}{x^2 - 2xy} = \frac{\frac{-y^2}{\sqrt{x^2 - 2xy}}}{x^2 - 2xy} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Sorry, dass meine Antworten so spärlich kommen. Hab gerade noch nicht so viel Zeit. Werde wahrscheinlich am Wochenende intensiv hier unterwegs sein.

15.10.2015, 22:25

Mathema

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Jo - das passt doch. Nun noch den Doppelbruch beseitigen und im Nenner zusammenfassen.

$\begin{eqnarray*} -\frac{y^2}{(x^2-2xy)\sqrt{x^2-2xy}}=... \end{eqnarray*}$

17.10.2015, 09:50

Rivago

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Dann sollte es so richig sein:

$\begin{eqnarray*} -\frac{y^2}{\sqrt{(x^2 - 2xy)^3}} \end{eqnarray*}$

smile

smile

17.10.2015, 10:50

Mathema

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Ja - das passt. Ich hätte statt der Wurzel eine Potenz gewählt, aber das ist dann vielleicht Geschmacksache.

Wink

Wink

17.10.2015, 13:16

Rivago

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Okay

smile

Nun brauche ich noch $\begin{eqnarray*} z_{xy} \end{eqnarray*}$

Das ist ja dann $\begin{eqnarray*} z_x \end{eqnarray*}$ nach y abgeleitet, und $\begin{eqnarray*} z_{xy} = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} u' = -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v' = -\frac{x}{\sqrt{x^2 - 2xy}} \end{eqnarray*}$

Ich komme auf $\begin{eqnarray*} z_{xy} = \frac{-\sqrt{x^2 - 2xy} - \left( (x - y) \cdot \frac{-x}{\sqrt{x^2 - 2xy}} \right)}{x^2 - 2xy} \end{eqnarray*}$

Stimmt das bis dahin? Und wenn ja, wie mache ich jetzt weiter?

17.10.2015, 13:26

Mathema

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Zitat:

Stimmt das bis dahin?

Ja.

Zitat:

wie mache ich jetzt weiter?

Analog.

17.10.2015, 13:31

Rivago

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$\begin{eqnarray*} = \frac{-\frac{\sqrt{x^2 - 2xy}}{\sqrt{x^2 - 2xy}} - \frac{-x(x - y)}{\sqrt{x^2 - 2xy}}}{x^2 - 2xy} \end{eqnarray*}$

Kann ich da den ersten Teil einfach gleich zu 1 umschreiben?

17.10.2015, 13:34

Mathema

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Nein - guck noch mal oben, wie wir da erweitert haben. Erweitern heißt Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren.

17.10.2015, 13:39

Rivago

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Aaah jetzt hab ichs smile

smile

$\begin{eqnarray*} z_{xy} = z_{yx} = \frac{xy}{(x^2 - 2xy)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

17.10.2015, 13:46

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} z_{xy} \textcolor{red}{= z_{yx}} \textcolor{blue}{= \frac{xy}{(x^2 - 2xy)^{\frac{3}{2}}}} \end{eqnarray*}$

Der blaue Teil sieht gut aus, den roten Teil erkläre mal. Hast du $\begin{eqnarray*} z_{yx} \end{eqnarray*}$ zuvor berechnet?

17.10.2015, 13:55

Rivago

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Nun, das ist doch Satz von Schwarz?!

Siehe Auszug aus Skript. Und in der Lösung steht es so auch drin..

17.10.2015, 14:01

Mathema

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Dann habe ich nichts gesagt. Stimmt auch.

smile

smile

17.10.2015, 14:05

Rivago

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Wolltest du mich also nur mal auf die Probe stellen? Big Laugh

Big Laugh

Danke

smile

17.10.2015, 14:06

Mathema

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Bestanden. Big Laugh

Big Laugh

Dir ein schönes Wochenende weiterhin.

Wink

Wink

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