Fragen bei Dreiecksgleichung

12.10.2015, 11:22

Hausmeister Krause

Fragen bei Dreiecksgleichung

Meine Frage:
Hallo miteinander

Ich habe eine Frage, obwohl die Antwort ziemlich einfach sein wird, komme ich nicht drauf.
Und zwar geht es um das Bestimmen des EINDEUTIGEN Grenzwert bei Folgen via der Dreiecksgleichung.

Und zwar heisst es dann im Beweis:
|a-b|=|(a-an)+(an-b)|

Der Beweis beruht auf dem Widerspruchsbeweis. Es wird angenommen, das a ein Grenzwert ist und b ebenfalls. an wird ja dann die Zahlenfolge sein.

ICh komme nicht darauf, warum da ein = dazwischen steht. Ich weiss nicht wie ich aus a = a-an schreiben kann, analog dazu aus b = bn-b

Besten Dank für Eure Hilfe im Voraus

Meine Ideen:
Ideen habe ich leider soweit keine...

12.10.2015, 11:27

HAL 9000

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Da wird doch nichts weiter als eine Null zur linken Seite addiert, damit bleibt der Wert erhalten. Und $\begin{align*} {\color{red}-a_n+a_n}=0 \end{align*}$ wirst du doch nicht bestreiten, oder?

D.h.: $\begin{align*} a-b = a~{\color{red}-a_n+a_n}~-b = (a-a_n)+(a_n-b) \end{align*}$

Und wenn zwei Werte gleich sind, dann sind natürlich auch deren Beträge gleich.

12.10.2015, 14:11

Hausmeister Krause

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Besten Dank für Deine zeitnahe Antwort HAL 9000

Ich wäre sehr dankbar, falls Du oder sonst jemand mir noch folgenden Sachverhalt erklären könnte. Es gehr auch hierbei um den Beweis der Eindeutigkeit des Grenzwertes via Widerspruchbeweis.

Es wird angenommen, dass es 2 Grenzwerte gibt. Weiter wird angenommen, dass
epsilon = |a-b|/3 ist

Der Beweis sieht wie folgt aus:

|a-b| = |(a-an) + (an-b)| (1) => ist nun klar wie kristall

*grössergleich* |a-an| + |an-b| (2)

< |a-b|/3 + |a-b|/3 (3)

= 2|a-b|/3 (4)

Wo ich noch hängen bleibe ist wie man von Schritt (2) auf (3) kommt.
Wie wird an |a-an| zu |a-b|/3 und analog dazu aus |an-b| zu |a-b|/3

Besten Dank für die Hilfe im Voraus.

Grüsse

12.10.2015, 15:12

steviehawk

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Hallo, ich kann es zwar bei weitem nicht so schön erklären wie HAL9000, aber vielleicht bist du wieder an einer zeitnahen Antwort interessiert, deshalb antworte ich schnell.

Du hast ja die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ . Deshalb gilt für den Abstand von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} |a-b| \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Normalerweise, das bringt etwas Übersicht, definiert man sich dann diesen Abstand als Epsilon: $\begin{eqnarray*} \epsilon := |a-b| \end{eqnarray*}$

Nun betrachtest du deine Folgenkonvergenz.

1) $\begin{eqnarray*} a_n \to a \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} a_n \to b \end{eqnarray*}$

Jetzt verwendest du die Epsilon-n Definition, dass eine Folge konvergiert. Statt $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ kannst du hier auch bequem $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ oder wie bei dir im Beweis $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{3} \end{eqnarray*}$ wählen, da es ja stets für alle Epsilon gelten muss.

zu 1) $\begin{eqnarray*} \forall \frac{\epsilon}{3} > 0 \ \exists m_a \in \mathbb N \ \forall n \geq m_a: |a_n-a| < \frac{\epsilon}{3} \end{eqnarray*}$

genau dasselbe kannst du für $\begin{eqnarray*} a_n \to b \end{eqnarray*}$ aufschreiben.

Jetzt muss du natürlich bei den Umformungen die du geschrieben hast noch Voraussetzen, dass $\begin{eqnarray*} n \geq \max \{m_a, m_b \} \end{eqnarray*}$ gilt.

Dann hast du:

$\begin{eqnarray*} \epsilon: = |a-b| = |a-a_n+a_n-b| \leq \underbrace{|a-a_n|}_{< \frac{\epsilon}{3}}+\underbrace{|a_n-b|}_{< \frac{\epsilon}{3}} < \frac{2}{3} \epsilon \end{eqnarray*}$

was natürlich ein Widerspruch ist.

Dass ich unter $\begin{eqnarray*} |a_n-a| \end{eqnarray*}$ schrieben konnte, dass es kleiner ist als $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{3} \end{eqnarray*}$ liegt eben gerade an der geschickt formulierten Folgenkonvergenz.

Viele Grüße Wink

12.10.2015, 19:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
Hallo, ich kann es zwar bei weitem nicht so schön erklären wie HAL9000

Nicht so farbig wie ich, aber schön erklärt war es doch allemal. Big Laugh

Also nicht das eigene Licht unter den Scheffel stellen. Augenzwinkern

12.10.2015, 20:32

Hausmeister Krause

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Super. es scheint nun alles klar zu sein. Besten Dank für Deine ausführliche Antwort steviehawk.

Ist jetzt ein Zufall, dass du auch gerade diesen Audruck verwendest, ich habe ihn heute zwar schon eine grosse Weile gegoogelt, bin aber ausser auf englisch sprachigen Seiten nicht gerade fündig geworden.

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} n\geq max\left\{ ma,mb\right\} \end{eqnarray*}$ bedeutet der dass n grösser oder gleich als das grössere der Beiden( $\begin{eqnarray*} m_{a},m_{b} \end{eqnarray*}$ ) sein muss, etwas salop ausgedrückt?

Besten Dank für Eure informativen Antworten. Es ist nicht dass ich uninterresiert oder faul wirken will wenn ich euch hier so viel frage.
Es ist nur ich kämpfe echt mit der Analyisis 1, will es aber dennoch verstehen.

Besten Dank euch!

13.10.2015, 07:49

steviehawk

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Guten Morgen

Zitat:

Original von Hausmeister Krause
Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} n\geq max\left\{ ma,mb\right\} \end{eqnarray*}$ bedeutet der dass n grösser oder gleich als das grössere der Beiden( $\begin{eqnarray*} m_{a},m_{b} \end{eqnarray*}$ ) sein muss, etwas salop ausgedrückt?

ja so kann man es verstehen.

$\begin{eqnarray*} \max \{1,2,3,4 \} = 4 \end{eqnarray*}$ zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} n \geq \max \ \{m_a, m_b \} \end{eqnarray*}$ beudet, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ noch einmal größer oder gleich ist, als das größere von beiden Elementen.

Ist dir klar, warum ich das gemacht habe?

https://de.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6%C...einstes_Element

sehr verwandt, aber nicht gleich zu setzen ist der Begriff des Supremums:

https://de.wikipedia.org/wiki/Infimum_und_Supremum

16.10.2015, 11:05

Hausmeister Krause

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Guten Morgen steviehawk

Job die Beweisführung bezüglich diesem Ausdruck ist mir nun klar.

Ich bedanke mich herzlich für die Zeit die Du (Euch) in deine informativen Erklärungen gesteckt hast.

Besten Dank!

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